哈尔测度

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数学分析中,哈尔测度(Haar measure)是赋予局域紧致拓扑群一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。

这个测度匈牙利数学家 Alfréd Haar 于1933年发明[1] 。哈尔测度用于数学分析,数论,群论,表示论,估计理论和遍历理论的很多方面。

预备知识[编辑]

对于一个局域紧致豪斯多夫拓扑群(G,・) ,其所有的紧子集生成的σ-代数被称为波莱尔代数(Borel algebra),波莱尔代数的元素即为波莱尔集。对于群G的元素g和子集S,可以定义S的左变换和右变换:

  • 左变换:
 g S = \{g.s\,:\,s \in S\}
  • 右变换:
 S g = \{s.g\,:\,s \in S\}

左/右变换使波莱尔集映射为波莱尔集。

对于一个作用于G的波莱尔子集上的测量μ,如果对所有的波莱尔子集S和所有的g

 \mu(g S) = \mu(S). \quad

则称这个测量μ是左变换不变的。相应可以定义右变换不变性。

哈尔定理[编辑]

在差一个正因子常数的情形下,如果G的波莱尔子集上的一个唯一可加的非平凡测度μ满足如下性质:

  • 对任意的g和波莱尔子集E,μ是左变换不变的:
 \mu(gE) =  \mu(E)
  • 对所有的紧致集K,μ是有限的:
 \mu(K)  <
 \mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U, U \text{ open and Borel}\}
  • 在波莱尔开集E上μ是内部正则(inner regular)的:
 \mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E, K \text{ compact}\}

那么这个G上的测度μ便被称为左哈尔测度。 特别的,如果G是紧致的那么μ(G)是有限且正的,因此总可以通过设定一归一条件μ(G) = 1,而G上唯一地指定一个左哈尔测度。

左哈尔测度对于所有的σ-有限波莱尔集都满足内部正则条件,但此条件对所有波莱尔集却不一定成立。

左哈尔测度的存在性和唯一性(相差一个因子的意义下)被André Weil[3]第一次完整的证明。Weil的证明采用了选择公理之后Henri Cartan在避免使用此公理的情况下同样完成了证明。1963年Alfsen对Cartan的论证给出了简化而全面的表述。[4]对于第二可数空间局域紧致群的不变测度也于1933年被Harr证明。[1]

右哈尔测度[编辑]

同样可以证明存在一个唯一(相差一个正因子的意义下)的右变换不变的波莱尔测度ν满足上面的正则条件且在紧致集合上有限,但并不要求它与左变换不变的哈尔测度μ相同。仅对于幺模群(unimodular groups)左哈尔测度与右哈尔测度才相同。ν和μ之间也有些简单的关系。

对一个波莱尔群 S, 记其中每一个元素的逆的集合为S^{-1},如果定义

 \mu_{-1}(S) = \mu(S^{-1}) \quad

那么这个 \mu_{-1}便构成一个右哈尔测度。其右变换不变性表现如下:

 \mu_{-1}(S g) = \mu((S g)^{-1}) = \mu(g^{-1} S^{-1}) = \mu(S^{-1}) = \mu_{-1}(S). \quad

又因为右测度是唯一的,因此对于所有波莱尔集合S,μ-1和ν相差一个正因子k,满足:

\mu(S^{-1})=k\nu(S)\,

哈尔积分(Harr integral)[编辑]

勒贝格积分理论,可以定义G上所有波莱尔测度方程f的积分。这个积分便是哈尔积分(Harr integral). 如果μ是一个左哈尔测度,那么对任意一个方程f,都有

 \int_G f(sx) \ d\mu(x) = \int_G f(x) \ d\mu(x)

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Haar, A., Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen, Annals of Mathematics, 2. 1933, 34 (1): 147–169 
  2. ^ “外部正则”与“内部正则”是参考日文维基上此条目后翻译出的
  3. ^ Weil, André, L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Actualités Scientifiques et Industrielles, 869, Paris: Hermann. 1940 
  4. ^ Alfsen, E.M., A simplified constructive proof of existence and uniqueness of Haar measure, Math. Scand.. 1963, 12: 106–116 
  • Paul Halmos, Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
  • Lynn Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand and Co., 1953.
  • André Weil, Basic Number Theory, Academic Press, 1971

参看[编辑]