数论
數論是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性質。被譽為「最純」的數學領域。
正整数按乘法性质划分，可以分成質数，合数，1，質数產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想。很多問題虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。
整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。
數論早期稱為算術。到20世紀初，才開始使用數論的名稱[1]，而算術一詞則表示「基本運算」，不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。1952年時數學家Harold Davenport仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」[2]。
卡尔·弗里德里希·高斯曾說：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。」
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数论初期的铺垫工作 [编辑]
数论早期铺垫有三大内容：
以上工作成为现代数论的基本框架。
数论中期工作 [编辑]
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。像费马的费马小定理提到，若a不是質數p的倍數，則
，而費馬最後定理在1637年提出，在三百多年後的1995年才由數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒證明。
在数论中期時，数论開始由初等数论向解析数论和代数数论转变。像欧拉研究整數分拆及五邊形數定理，都是解析数论的課題。而千禧年大獎難題中的黎曼猜想也是和解析数论有關的猜想。
分支 [编辑]
- 解析數論
- 借助微積分及複分析的技術來研究關於整數的問題，主要又可以分為積性數論與加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。
- 代數數論
- 引申代數數的話題，關於代數整數的研究，主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題，而為了達到此目的，這個領域與代數幾何之間有相當關聯，比如類域論（class field theory）就是此間的顛峰之作。
- 算術代数幾何
- 研究有理係數多變數方程組的有理點，其結構（主要是個數）和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係，有名的費馬最後定理、莫德爾猜想、Weil猜想，和千禧年大獎難題中的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想都屬此類。
- 幾何数论
- 主要在於透過幾何觀點研究整數（在此即格子點）的分佈情形。最著名的定理為闵可夫斯基定理。
- 計算数论
- 借助電腦的算法幫助數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。
- 超越数论
- 研究數的超越性，其中對於歐拉常數與特定的黎曼ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。
- 組合数论
- 利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保罗·埃尔德什開創的思路。
- 模形式
應用 [编辑]
參考資料 [编辑]
- ^ Heath, Thomas L. A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921: p.13.
- ^ Apostol, Tom M. An introduction to the theory of numbers. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. n.d.
外部連結 [编辑]
- （英文） Number Theory Web
