数论

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數論是最原始的两个数学分支,即算术与几何,保留下来的问题。传统的几何学已经枯萎,所有的问题都得到解决。而传统的算术却积累了越来越多的问题,成为难以穿越的密林。过去被认为是纯粹数学的,是專門研究整数的性質,整数按乘法性质划分,可以分成“素数”,“合数”,“1”,素数產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題,如哥德巴赫猜想。两千多年来,数论学一个最重要的任务就是寻找一个素数普遍公式,人们花费了巨大的心血,始终未获成功(参见百度网页“素数普遍公式”)很多諸如此類的問題虽然形式上十分初等,但事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展,催生了大量的新思想和新方法。

數學是科學的皇后,數論是數學的皇后。 ——卡尔·弗里德里希·高斯

[编辑] 分支

初等數論 
意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題,最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理費馬小定理二次互反律等等。
解析數論 
借助微積分複分析的技術來研究關於整數的問題,主要又可以分為積性數論加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題,其中質數定理狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題,華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。
代數數論 
引申代數數的話題,關於代數整數的研究,主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題,而為了達到此目的,這個領域與代數幾何之間有相當關聯,比如類域論(class field theory) 就是此間的顛峰之作.
算術代数幾何 
研究有理係數多變數方程組的有理點,其結構(主要是個數)和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係,有名的費瑪猜想, Mordell猜想, Weil猜想℉, 和七個一百萬問題中的 Birch-Swiner-Dyer 猜想都屬此類.
幾何数论 
主要在於透過幾何觀點研究整數(在此即格子點)的分佈情形。最著名的定理為闵可夫斯基定理
計算数论 
借助電腦的算法幫助數論的問題,例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。
超越数论 
研究數的超越性,其中對於歐拉常數與特定的 Zeta 函數值之研究尤其令人感到興趣。
組合数论 
利用組合和機率的技巧,非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保罗·爱多士開創的思路。
模形式

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