数论
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數論是最原始的两个数学分支，即算术与几何，保留下来的问题。传统的几何学已经凋零，所有的问题都得到解决。而传统的算术却积累了越来越多的问题，成为难以穿越的密林。过去被认为是纯粹数学的，是專門研究整数的性質，正整数按乘法性质划分，可以分成“素数”，“合数”，“1”，素数產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想。很多問題虽然形式上十分初等，但事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。
卡尔·弗里德里希·高斯曾說：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。」
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[编辑] 数论初期的铺垫工作
数论早期铺垫有三大内容：
- 公元420至589年（中国南北朝时期）的孙子定理。
以上工作成为现代数论的基本框架。
[编辑] 数论中期工作
数论从早期到中期跨越了1000—2000年，在接近2000年时间，数论几乎是空白。中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马，梅森，欧拉，高斯，勒让德黎曼，希尔伯特等人发展的。
内容是寻找素数通项公式为主线的思想，开始由初等数论向解析数论和代数数论转变，产生了越来越多的猜想无法解决，遗留 到20世纪，许许多多的困难还是依赖素数通项公式，例如黎曼猜想素数公式。如果找到一个素数通项公式，现在一些困难问题 就可以由解析数论转回到初等数论范围。
[编辑] 分支
- 解析數論
- 借助微積分及複分析的技術來研究關於整數的問題，主要又可以分為積性數論與加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。
- 代數數論
- 引申代數數的話題，關於代數整數的研究，主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題，而為了達到此目的，這個領域與代數幾何之間有相當關聯，比如類域論（class field theory）就是此間的顛峰之作。
- 算術代数幾何
- 研究有理係數多變數方程組的有理點，其結構（主要是個數）和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係，有名的費馬最後定理、Mordell猜想、Weil猜想，和千禧年大獎難題中的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想都屬此類。
- 幾何数论
- 主要在於透過幾何觀點研究整數（在此即格子點）的分佈情形。最著名的定理為闵可夫斯基定理。
- 計算数论
- 借助電腦的算法幫助數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。
- 超越数论
- 研究數的超越性，其中對於歐拉常數與特定的Zeta函數值之研究尤其令人感到興趣。
- 組合数论
- 利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保罗·埃尔德什開創的思路。
- 模形式
