代數整數

數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

自然數 $\mathbb{N}$
整數 $\mathbb{Z}$
二进分数
 有限小数
 循环小数
 有理數 $\mathbb{Q}$
高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$
代數數 $\mathbb{A}$
實數 $\mathbb{R}$
複數 $\mathbb{C}$

負數
 分数
 单位分数
 无限小数
 规矩数
 無理數
 超越數
 二次无理数
 虛數
 艾森斯坦整数 $\mathbb{Z}[\omega]$

延伸

雙複數
 四元數 $\mathbb{H}$
共四元數
 八元數 $\mathbb{O}$
超數
 上超實數
 超現實數

超複數
 十六元數 $\mathbb{S}$
複四元數
 Tessarine
大實數
 超實數 ${}^\star\mathbb{R}$

其他

对偶数
 雙曲複數
 序數
 質數
 同餘
 可計算數
 阿列夫数

公稱值
 超限數
 基數
 P進數
 規矩數
 整數序列
 數學常數

圓周率 π = 3.141592653…
自然對數的底 e = 2.718281828…
虛數單位 i = $+\sqrt{-1}$
無窮大量 ∞

在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一类。一个複数 α 是代数整数当且仅当它是某个個整系數的首一多項式 $P(x)$ 的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。

因此，所有代數整數都是代數數, 但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环，通常记作 $\mathbb{A}$ 。

如果 $P(x)$ 是整係數本原多項式（即系數的最大公因数是1的多项式），但非首一多項式，則 $P$ 的根都不是代數整數。

[编辑] 例子

有理数域 $\mathbb{Q}$ 中的代数整数就是整数。换句话说， $\mathbb{A}$ 和 $\mathbb{Q}$ 交集是整数环 $\mathbb{Z}$ 。这可以用整系数多项式的一个简单性质证明。如果一个整系数多项式

$P(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m$

有一个根是有理数： $\scriptstyle r = \frac{p}{q}$ ，其中p、q 是互素的整数，那么必然有：分母q 整除 $a_m$ ，以及分子p 整除 $a_0$ 。因此，由于代数整数是某个首一多项式的根，如果它是有理数，那么它的分母整除多项式的最高冪次項，也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1，即是说它是整数。反过来，所有的整数n 都是整系数首一多项式 $\displaystyle x - n$ 的根，所以是代数整数。

一个给定的数域 $\mathbb{K}$ 与 $\mathbb{A}$ 的交集称为这个数域的整数环，记作 $\mathcal{O}_K$ 。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说，给定一个数域： $\mathbb{K}=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ，那么对应的整数环中不仅有整数，还有 $\sqrt{2}$ ，因为 $\sqrt{2}$ 是首一多项式 $\scriptstyle x^2 - 2$ 的根。

$\scriptstyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ 不是代数整数。这是因为 $\scriptstyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ 在有理数域上的最小多项式是 $\scriptstyle 2x^2 - 1$ ，不是一个首一多项式。

$\scriptstyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 是一个代数整数。它是多项式 $\scriptstyle x^2 - x - 1$ 的根。一般来说，如果整数 $\scriptstyle d$ 除以4余1，那么 $\scriptstyle \frac{1+\sqrt{d}}{2}$ 也是代数整数，因为它是多项式 $\scriptstyle x^2 - x - \frac{d-1}{4}$ 的根。