代數整數

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基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

數學裡,代數整數algebraic integer)是複數中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某个個系數的首一多項式P(x)的根。其中首一(英文:monic)意謂最高次項的系數是1。

因此,所有代數整數都是代數數,但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环,通常记作\mathbb{A}

如果P(x)是整係數本原多項式(即系數的最大公因数是1的多项式),但非首一多項式,則P的根都不是代數整數。

定义[编辑]

以下是代数整数四种相互等价的定义。设K代数数域有理数\mathbb Q有限扩张)。根据本原元定理K可以写成K = \mathbb{Q}(\theta)的形式。其中\theta \in \mathbb C是某个代数数。设有\alpha \in K,则α是代数整数当且仅当以下命题之一成立:

  1. 存在整系数多项式:P = X^m + a_1 X^{m-1} + \cdots + a_{m-1} X +a_m \in \mathbb{Z}[X],使得P(\alpha) = 0
  2. α\mathbb Q上的极小首一多项式是整系数多项式。
  3. \mathbb{Z}[\alpha]是有限生成的\mathbb Z-
  4. 存在有限生成的\mathbb Z-子模:M \subset \mathbb{C},使得\alpha M \subseteq M

例子[编辑]

  • 有理数\mathbb{Q}中的代数整数就是整数。换句话说,\mathbb{A}\mathbb{Q}交集是整数环\mathbb{Z}。这可以用整系数多项式的一个简单性质证明。如果一个整系数多项式
P(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m
有一个根是有理数:\scriptstyle r = \frac{p}{q},其中pq互素的整数,那么必然有:分母q 整除a_m,以及分子p 整除a_0。因此,由于代数整数是某个首一多项式的根,如果它是有理数,那么它的分母整除多项式的最高次項,也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1,即是说它是整数。反过来,所有的整数n都是整系数首一多项式\displaystyle  x - n 的根,所以是代数整数。
  • 一个给定的代数数域\mathbb{K}\mathbb{A}的交集称为这个数域的(代数)整数环,记作\mathcal{O}_K。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说,给定一个数域:\mathbb{K}=\mathbb{Q}(\sqrt{2}),那么对应的整数环中不仅有整数,还有\sqrt{2},因为\sqrt{2}是首一多项式\scriptstyle  x^2 - 2 的根。
  • \scriptstyle \frac{\sqrt{2}}{2}不是代数整数。这是因为\scriptstyle \frac{\sqrt{2}}{2}在有理数域上的最小多项式\scriptstyle  2x^2 - 1 ,不是一个首一多项式。
  • \scriptstyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}是一个代数整数。它是多项式\scriptstyle x^2 - x - 1的根。一般来说,如果整数\scriptstyle d除以4余1,那么\scriptstyle \frac{1+\sqrt{d}}{2}也是代数整数,因为它是多项式\scriptstyle  x^2 - x - \frac{d-1}{4}的根。
  • 给定素数pp单位根\zeta_p也是一个代数整数,因为是首一多项式\displaystyle  x^p - 1 = 0的根。实际上,p分圆域\mathbb{Q}(\zeta_p)的整数环就是\mathbb{Z}[\zeta_p]

性质[编辑]

  • 兩個代數整數的和是一個代數整數,他們的差及積也是。這時它們滿足的首一多項式可以用結式表達;但他們的商就不一定是代數整數。
  • 一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換句話說,代數整數構成一個,並且在任何代數擴張下是整閉的。
  • 任何從整數出發,透過和、積與开方得到的數都是代數整數,但並非所有代數整數都可依此構造,例如,大多數的五次代數整數都無法透過這種方式構造。
  • 代數整數是裴蜀整环

參見[编辑]

参考来源[编辑]

  • Daniel A. Marcus, Number Fields(数域), third edition, Springer-Verlag, 1977