虚数

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$
整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$
二进分数
 有限小数
 循环小数
 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$
高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$
代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$
實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$
複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$

負數
 分数
 单位分数
 无限小数
 规矩数
 無理數
 超越數
 二次无理数
 虛數
 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數
 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$
共四元數
 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$
超數
 上超實數
 超現實數

超複數
 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$
複四元數
 大實數
 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数
 雙曲複數
 序數
 質數
 同餘
 可計算數
 阿列夫数

公稱值
 超限數
 基數
 P進數
 規矩數
 整數序列
 數學常數

圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653…
自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828…
虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$
無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

虛數，即平方为负数的数；所有的虛數都是複數。“虛數”這個名詞是17世纪著名數學家笛卡爾創製，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複平面上每一點對應着一個複數。

每一個虛數可表達為 $ib\,$ ，其中 $b\,$ 是實數，虛數單位 $i\,$ 的定义是：

$i^2 = -1\,$

或者 $i = \sqrt{-1}\,$

$i = \sqrt{-1}\,$ 往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

$-1\,=i \times i=\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}=\sqrt{-1 \times -1}=\sqrt{1}=1\,$ ， $-1\ne1\,$ 。

但請注意： $\sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}\,$ 成立的條件有a,b不能同時為負數。^[1]

我們應該將根號視為求 $x^2$ 的解，故將一個數開根號後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應， $\sqrt{-1}$ 實際上代表的是兩個數，分別為 $+i$ 及 $-i$ 。但若直接將 $\sqrt{-1}$ 對應到 $+i$ ，而 $-\sqrt{-1}$ 對應到 $-i$ 也未嘗不可。