代數數

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數學的數

基本

自然數 負數 整數 分数 二进分数 单位分数 有限小数 无限小数 循环小数 有理數 無理數 二次无理数 正规数 實數 虛數 複數 高斯整数 艾森斯坦整数 代數數 代数整数 规矩数 超越數

延伸

雙複數 超複數 四元數 共四元數 複四元數 八元數 十六元數 Tessarine 超數 大實數 超實數 上超實數 各種超實數

其他

对偶数 公稱值 雙曲複數 序列號 超限數 序數 基數 質數 同餘 P進數 規矩數 可計算數 整數序列 數學常數 大數 圓周率 π = 3.141592654... e = 2.718281828... 虛數單位 i2 = − 1 無窮 ∞

代數數是滿足整係數代數方程的數。這即是說若 x 是一個代數數，那麼必然存在整数 令x是以下方程的根：

不是代数数的复数称为超越数，例如圆周率。

目录 1 例子 2 性质 3 代数数域 4 由根式定义的数 5 代数整数 6 注释 7 参考文献

[编辑] 例子

• 有理数，也就是可以表示为b/a（b和a均为整数且不为零）的数，满足以上的定义，因为x = −b/a是方程ax + b = 0的根。^[1]
• 有些无理数也是代数数，而有些则不是：

• 数和是代数数，因为它们分别是方程x² − 2 = 0和x³ − 3 = 0的根。
• 黄金分割比φ也是代数数，因为它是x² − x − 1 = 0的根。
• π和e不是代数数（参见林德曼-魏尔斯特拉斯定理），^[2]因此它们是超越数。

• 规矩数，也就是可以用直尺和圆规作出的线段的长度，例如2的平方根，都是代数数。
• 二次无理数，也就是二次方程ax² + bx + c = 0的根，是代数数。
• 高斯整数—形如a + bi的数，其中a和b都是整数，也是代数数。

[编辑] 性质

• 代数数的集合是可数的。^[3]
• 因此，代数数集合的勒贝格测度为零（作为复数的一个子集），也就是说，“几乎所有”的复数都不是代数数。
• 给定一个代数数，存在唯一的最低次数的有理系数首一多项式，使得该代数数是该多项式的根。这个多项式称为极小多项式。如果极小多项式的次数为n，则该代数数称为n次的。一次的代数数是有理数。
• 所有的代数数都是可计算数，因此是可定义数。

[编辑] 代数数域

两个代数数的和、差、积与商也是代数数，因此代数数构成了一个域，有时记为或。每一个系数为代数数的多项式方程的根也是代数数。因此，代数数域是代数封闭域。实际上，它是含有有理数的最小的代数封闭域，因此称为有理数的代数闭包。

[编辑] 由根式定义的数

任何可以从整数通过有限次四则运算和开n次方（其中n是正整数）得到的数都是代数数。然而，反过来不成立：有些代数数不能用这种方法得出。所有这些代数数都是高于5次的多项式的解。这是伽罗瓦理论的一个结果（参见五次方程和阿贝尔-鲁菲尼定理）。一个例子是x⁵ − x − 1 = 0的唯一的根（大约为1.167303978261418684256）。

[编辑] 代数整数

主条目：代数整数

代数整数是满足整系数首一多项式（第一项为1）的根的数。代数整数的例子包括3√2 + 5、6i − 2，以及(1 + i√3)/2。

两个代数整数的和、差与积也是代数整数，这就是说，代数整数构成了一个环。代数整数的名称的由来，是因为唯一的既是有理数又是代数整数的数是整数，且任何数域中的代数整数与整数有许多相似之处。如果K是一个数域，那么它的整数环就是K中的代数整数的子环，经常记为O_K。这些是戴德金整环的典型例子。

[编辑] 注释

[编辑] 参考文献

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, MR1129886, ISBN 0-13-004763-5
• Ireland, Kenneth & Michael Rosen (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, vol. 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1070716, ISBN 0-387-97329-X
• G. H. Hardy and E. M. Wright 1978, 2000 (with general index) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0 19 853171 0
• Lang, Serge (2004), Algebra (4th ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-95385-X
• Orestein Ore 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)