代數數

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各种各样的
基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

代數數是滿足整係數代數方程的數。這即是說若x\,是一個代數數,那麼必然存在整数a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 (n\geq 1,a_n\neq 0)x\,是以下方程的根:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0

不是代数数的实数称为超越数,例如圆周率

例子[编辑]

  • 有理数,也就是可以表示为\frac{b}{a}\,b\,a\,均为整数且a不为零)的数,满足以上的定义,因为x=-\frac{b}{a}\,是方程ax+b=0\,的根。[1]
  • 有些无理数也是代数数,而有些则不是:
  • 规矩数,也就是可以用直尺和圆规作出的线段的长度,例如2\,的平方根,都是代数数。
  • 二次无理数,也就是二次方ax^2+bx+c=0\,的根,是代数数。
  • 高斯整数—形a+b{\rm{i}}\,的数,其中a\,b\,都是整数,也是代数数。

性质[编辑]

  • 代数数的集合是可数的,[3]由於它們是整係數方程式的根,而定義一整係數方程式∑k=0n (akxk)=0之等級為∑k=0n(k+1)|ak|,例如:等級為5的方程式有:

x4=0(對應分拆5)
x3+1=0(對應分拆4+1)
x3-1=0(對應分拆4+1)
x2+x=0(對應分拆3+2)
x2-x=0(對應分拆3+2)
x2+2=0(對應分拆3+1+1)
x2-2=0(對應分拆3+1+1)
2x+1=0(對應分拆2+2+1)
2x-1=0(對應分拆2+2+1)
x+3=0(對應分拆2+1+1+1)
x-3=0(對應分拆2+1+1+1)
5=0(對應分拆1+1+1+1+1)
若數字n之分拆數為r(n),則等級為n的方程式就有r(n)(先不論正負號)個,亦即是有限個,而每個方程式也只能有有限多個代數數解,因此,等級為n的代數數也會是有限個,所以,可以先把等級為1的代數數數完後,再數等級是2的,於依此類推,所以它們可數!

  • 因此,代数数集合的勒贝格测度为零(作为复数的一个子集),也就是说,“几乎所有”的复数都不是代数数。
  • 给定一个代数数,存在唯一的最低次数的有理系数首一多项式,使得该代数数是该多项式的根。这个多项式称为极小多项式。如果极小多项式的次数为n\,,则该代数数称为n\,次的。一次的代数数是有理数
  • 所有的代数数都是可计算数,因此是可定义数

代数数域[编辑]

两个代数数的和、差、积与商也是代数数,因此代数数构成了一个,有时记为\mathbb{A}\overline{\mathbb{Q}}。每一个系数为代数数的多项式方程的根也是代数数。因此,代数数域是代数封闭域。实际上,它是含有有理数的最小的代数封闭域,因此称为有理数的代数闭包

由根式定义的数[编辑]

任何可以从整数通过有限次四则运算和开n\,次方(其中n\,是正整数)得到的数都是代数数。然而,反过来不成立:有些代数数不能用这种方法得出。所有这些代数数都是高于五次的多项式的解。这是伽罗瓦理论的一个结果(参见五次方程阿贝尔-鲁菲尼定理)。一个例子是x^5-x-1=0\,的唯一的根(大约为1.167303978261418684256\,)。

代数整数[编辑]

代数整数是满足整系数首一多项式(第一项为1\,)的根的数。代数整数的例子包括3\sqrt2+5\,6{\rm{i}}-2\,,以及 \frac{1+\sqrt3{\rm{i}}}{2}\, 两个代数整数的和、差与积也是代数整数,这就是说,代数整数构成了一个环。代数整数的名称的由来,是因为唯一的既是有理数又是代数整数的数是整数,且任何数域中的代数整数与整数有许多相似之处。如果K是一个数域,那么它的整数环就是K中的代数整数的子环,经常记为OK。这些是戴德金整环的典型例子。

注释[编辑]

  1. ^ Hardy and Wright 1972:159-160 and pp. 178-179
  2. ^ cf Hardy and Wright p. 161ff
  3. ^ Hardy and Wright 1972:160

参考文献[编辑]