極小多項式

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抽象代數中,一個域上的代數的元素 \alpha極小多項式(或最小多項式)是滿足 P(\alpha) = 0 的最低次首一多項式 P。此概念對線性代數代數擴張的研究極有助益。

形式定義[编辑]

k 為一个域,A 為有限維 k-代數。對任一元素 \alpha \in A,集合 \{1, \alpha, \alpha^2, \ldots \} 張出有限維向量空間,所以存在非平凡的線性關係 :

\sum_{i=0}^n c_i \alpha^i = 0 \quad (c_i \in k)

可以假設 c_n=1,此時多項式 f(X) := \sum_{i=0}^n c_i X^i 滿足 f(\alpha)=0。根據多項式環裡的除法,可知這類多項式中只有一個次數最小者,稱之為 \alpha極小多項式

由此可導出極小多項式的次數等於 \dim_k k[\alpha],而且 \alpha 可逆若且唯若其極小多項式之常數項非零,此時 \alpha^{-1} 可以表成 \alpha 的多項式。

矩陣的極小多項式[编辑]

考慮所有 n \times n 矩陣構成的 k-代數 M_n(k),由於 \dim M_n(k) = n^2,此時可定義一個n \times n 矩陣之極小多項式,而且其次數至多為 n^2;事實上,根據凱萊-哈密頓定理,可知其次數至多為 n,且其根屬於該矩陣的特徵值集。

極小多項式是矩陣分類理論(若尔当标准型有理標準形)的關鍵。

極小多項式與代數擴張[编辑]

k'k有限擴張,此時可視 k' 為有限維 k-代數。根據的性質,極小多項式必為素多項式。元素的跡數範數等不變量可以從極小多項式的係數讀出。