極小多項式

在抽象代數中，一個域上的代數的元素 α 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 P(α) = 0 的最低次首一多項式 P。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。

形式定義

設 k 為一个域，A 為有限維 k-代數。對任一元素 $\alpha \in A$，集合 $\{1, \alpha, \alpha^2, \ldots \}$ 張出有限維向量空間，所以存在非平凡的線性關係 ：

$\sum_{i=0}^n c_i \alpha^i = 0 \quad (c_i \in k)$

可以假設 c_n = 1，此時多項式 $f(X) := \sum_{i=0}^n c_i X^i$ 滿足 f(α) = 0。根據多項式環裡的除法，可知這類多項式中只有一個次數最小者，稱之為 α 的極小多項式。

由此可導出極小多項式的次數等於 dim _kk[α]，而且 α 可逆若且唯若其極小多項式之常數項非零，此時 α ^{− 1} 可以表成 α 的多項式。

矩陣的極小多項式

考慮所有 $n \times n$ 矩陣構成的 k-代數 M_n(k)，由於 dim M_n(k) = n²，此時可定義一個$n \times n$ 矩陣之極小多項式，而且其次數至多為 n²；事實上，根據凱萊-哈密頓定理，可知其次數至多為 n，且其根屬於該矩陣的特徵值集。

極小多項式是矩陣分類理論（若尔当标准型、有理標準形）的關鍵。

極小多項式與代數擴張

設 k' 為 k 的有限擴張，此時可視 k' 為有限維 k-代數。根據域的性質，極小多項式必為素多項式。元素的跡數及範數等不變量可以從極小多項式的係數讀出。