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分數

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基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

取出四份之一蛋糕。圖中顯示剩餘的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虛線表示可以把蛋糕進行切割分成相等的部份。每一個蛋糕被表示為分數¼。

分數是用分式(分數式)表達成\frac{a}{b}(其中a、b均为整数,且b不等于0,例如:\frac{1}{2})之有理數。在上式之中,b稱為分母而a稱為分子,可視為某件事物平均分成b份中佔a分,讀作「b分之a」。中間的線稱為分線分数线。有時人們會用a/b來表示分數。

分數這個概念和除法比例很相似,分數是一種值,除法較重視計算,比例重視兩件事物之間的比較。若a及b為整數,則除了有餘數的計算之外,除法和分數得出來的結果都相同。

分類[编辑]

最簡分數(Simple Fraction)
分子是整數,分母是正整數,且分子和分母互質的分數。例如:\frac{17}{~{}19~{}}
真分數(Proper Fraction)
除商小於1、大於0的分數,即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候,分母越大則值就越小,當分母一樣的時候,分子越大,數值就越大。例如:\frac{3}{~{}7~{}}
假分數(Top-heavy/Improper Fraction)
假分数是指除商不小於1的分數,即分子等於或大於分母的分数,可寫成帶分數。例如:\frac{5}{~{}2~{}}
帶分數(Mixed Numeral)
一個整數加一個真分數,例如d \frac{a}{b},讀作「d又b分之a」;又例如1 \frac{1}{~{}2~{}},就是一又二分之一。可寫成假分數,與\frac{~{}( d \times b ) + a~{}}{b}等價。
單位分數:分子為1,分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如:\frac{1}{~{}99~{}}
古埃及分數(Egyptian fraction)
將分數表達成單位分數之和。例如:\frac{19}{~{}20~{}} = \frac{1}{~{}2~{}} + \frac{1}{~{}3~{}} + \frac{1}{~{}9~{}}+ \frac{1}{~{}180~{}}
繁分數:分子和/或分母包含了分數,例如\frac{~{} \frac{a}{~{} b~{} }~{} }{\frac{c}{~{} d~{} }}。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化,即前面的式子等如\frac{ad}{~{}bc~{}}
連分數:外觀如x = a_0 + \frac{1}{~{}a_1 + \frac{1}{~{}a_2 + \frac{1}{~{}a_3+\dots}}} 的分數,其中ai是整數。若只有有限個ai非零,則連分數是一個分數。

小數百分率可視為分數的另一種寫法。

分數運算[编辑]

分數如自然數般,跟從互聯律結合律分配律和反除以零的規則。

約分、擴分及通分[编辑]

一個分數約分後或擴分後,其分數與原來之分數的值相等,稱為等值分數。

约分[编辑]

「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數(它們的公因數)。 約分後的分數和原來分數的值相等。12/14 = 6/7

擴分

「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。 擴分後的分數和原來分數的值相等。

通分

「通分」是利用約分或擴分,將兩個分母不同的分數,分别化為同分母的分數。

加法及減法[编辑]

筆算分數的加減法時,必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差,這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等,為了方便地求得所須分母,計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上,合成和後再作約簡。例如:

\frac{1}{4} +  \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} =  \frac{3 + 4}{12} = \frac{7}{12}

乘法及除法[编辑]

分數的乘除無視分子母的特性,將分子和分母各自處理便可,但是由於整數除法亦容易引起小數,加上不適合出現於分數形式,而且除法也是乘法的逆函數,故此計算時一般將被除數化成其倒數,把除法改為乘法較為方便。例如:

\frac{1}{5} \div  \frac{7}{11} = \frac{1}{5} \times \frac{11}{7} =  \frac{1 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{35}

相關話題[编辑]