共轭复数

复平面上$z$和它的共轭复数$\bar{z}$的表示。

在數學中，複數的複共軛（常簡稱共軛）是對虛部變號的運算，因此一個複數

$z=a+ib \, \quad (a, b \in \R)$

的複共軛是

$\overline{z} = a - ib.\,$

舉例明之：

$\overline{(3-2i)} = 3 + 2i$

$\overline{7}=7$

在複數的極坐標表法下，複共軛寫成

$\overline{r e^{i\theta}} = r e^{-i\theta}$

這點可以透過歐拉公式驗證

將複數理解為複平面，則複共軛無非是對實軸的反射。複數 $z$ 的複共軛有時也表為 $z^*$。

屬性

以下的性質對任意複數 $z$ 及 $w$ 都成立：（有特別說明者例外）

$(z + w)^* = z^* + w^* \!\$

$(zw)^* = z^* w^* \!\$

$\left({\frac{z}{w}}\right)^* = \frac{z^*}{w^*}$ 若 $w$ 不為零

$z^* = z \!\$ 若且唯若 $z$ 為實數

$\left| z^* \right| = \left| z \right|$

${\left| z \right|}^2 = zz^*$

$z^{-1} = \frac{z^*}{{\left| z \right|}^2}$ 若 $z$ 不為零

一般而言，如果複平面上的函數 $\phi$ 能表為實係數冪級數，則有

$\phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)}\,\!$

最直接的例子是多項式，由此可推得實係數多項式之複根必共軛；此外也可用於複指數函數與複對數函數（取定一分枝）

• $\exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)}\,\!$
• $z \neq 0 \Rightarrow \log(\overline{z}) = \overline{\log(z)}\,\!$

其它觀點

複共軛是複平面上的自同構，但是並非全純函數。

記複共軛為 $\tau$，則有 $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) = \{1, \tau\}$。在代數數論中，慣於將複共軛設想為「無窮素數」的弗羅貝尼烏斯映射，有時記為 $F_\infty$。