共轭复数

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复平面上z和它的共轭复数\bar{z}的表示。

數學中,複數複共軛(常簡稱共軛)是對虛部變號的運算,因此一個複數

 z=a+ib \, \quad (a, b \in \R)

的複共軛是

\overline{z} = a - ib.\,

舉例明之:

\overline{(3-2i)} = 3 + 2i
\overline{7}=7

在複數的極坐標表法下,複共軛寫成

\overline{r e^{i\theta}} = r e^{-i\theta}

這點可以透過歐拉公式驗證

將複數理解為複平面,則複共軛無非是對實軸的反射。複數z的複共軛有時也表為z^*

屬性[编辑]

以下的性質對任意複數zw都成立:(有特別說明者例外)

(z + w)^* = z^* + w^* \!\
(zw)^* = z^* w^* \!\
\left({\frac{z}{w}}\right)^* = \frac{z^*}{w^*}w不為零
z^* = z \!\ 若且唯若z為實數
\left| z^* \right| = \left| z \right|
{\left| z \right|}^2 = zz^*
z^{-1} = \frac{z^*}{{\left| z \right|}^2}z不為零

一般而言,如果複平面上的函數\phi能表為實係數冪級數,則有

\phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)}\,\!

最直接的例子是多項式,由此可推得實係數多項式之複根必共軛;此外也可用於複指數函數與複對數函數(取定一分枝)

  • \exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)}\,\!
  • z \neq 0 \Rightarrow \log(\overline{z}) = \overline{\log(z)}\,\!

其它觀點[编辑]

複共軛是複平面上的自同構,但是並非全純函數

記複共軛為\tau,則有\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) = \{1, \tau\}。在代數數論中,慣於將複共軛設想為「無窮素數」的弗羅貝尼烏斯映射,有時記為F_\infty