幂级数

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无穷级数
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}
无穷级数
蓝色曲线是指数函数,红色曲线是指数函数的麦克劳林展开的 前n+1 项和的曲线

数学中,幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数,变量可以是一个或多个(见“多元幂级数”一节)。单变量的幂级数形式为:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n
 = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

其中的ca_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots常数a_0 ,a_1 ,a_2 \cdots a_n \cdots称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数,幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式,在很多方面有类似的性质,可以被看成是“无穷次的多项式”。

如果把(x-c) 看成一项,那么幂级数可以化简为\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。

将一个函数写成幂级数 \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n 的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。

幂级数是分析学研究的重点之一,然而在组合数学中,幂级数也占有一席之地。作为母函数,由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源[1]。在电力工程学中,幂级数则被称为Z-变换实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种,只不过这里的x被固定为\frac{1}{10}。在p-进数中则可以见到x被固定为10的幂级数。

例子[编辑]

多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数,例如多项式 f(x) = x^2 + 2x + 3 可以写成标准形式的幂级数:

f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots

也可以写成(c=1):

f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots

实际上,多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说,幂级数是多项式的推广。

等比级数的公式给出了对|x|<1,有

 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots

是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开:

 e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,

以及正弦函数(对所有实数x 成立):

 \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

这些幂级数都属于泰勒级数

幂级数里不包括负的幂次。例如1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots 就不是幂级数(它是一个劳伦级数)。同样的,幂次为分数的级数也不是幂级数。系数a_n必须是和x无关,比如\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,就不是一个幂级数。

敛散性[编辑]

作为级数的一种,幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数,当变量x复数中变化时,幂级数可能收敛,也可能发散。作为判断的依据,有:

阿贝尔引理:给定一个幂级数\sum_{n=0}^\infty a_n x^n ,如果对实数r_0>0,数列( |a_n| r_0^n)_{n \ge 0} 有界,那么对任意复数|x| < r_0\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 绝对收敛。
证明

如果|x| <r_0,那么由于数列( |a_n| r_0^n)_{n \ge 0} 有界,存在正实数M使得对任意的n,总有 0 \le |a_n| r_0^n \le M。所以:

 \sum_{n=0}^\infty |a_n\, x^n| = \sum_{n=1}^\infty \left(|a_n|\, r_0^n\right)\cdot \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n
\ \  \le \sum_{n=0}^\infty M \cdot \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n
\ \ = M \cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|x|}{r_0}\right)^n

正数比值\frac{|x|}{r_0}严格小于1,因此上面的等比级数收敛,于是\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 绝对收敛。

按照引理,使得幂级数\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的(不包括边界),称为收敛圆盘,其边界称为收敛圆。具体来说,就是:

  1. 要么对所有的非零复数,\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 都发散;
  2. 要么存在一个正常数(包括正无穷)R,使得当|x| < R时,\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 绝对收敛,当|x| > R时,\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 发散。

这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数 R 被称为幂级数的收敛半径,当属于第一种情况时,规定收敛半径为零。

按照定义,对一个幂级数\sum_{n=0}^\infty a_n x^n ,当|x| <R (在收敛圆盘内)时(如果有的话),幂级数必然收敛;而当|x| > R时(如果有的话),幂级数必然发散。但是如果|x| = R(在收敛圆上)的话,这时幂级数的敛散性是无从判断的,只能具体分析。

根据达朗贝尔审敛法收敛半径R满足:如果幂级数\sum a_n x^n满足\lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = \rho,则:

 \rho是正实数时,R = {1 \over \rho}
 \rho = 0时,R = \infty
 \rho = \infty时,R = 0

根据根值审敛法,则有柯西-阿达马公式

R=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}
或者\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}

幂级数的运算[编辑]

形式上,幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。

(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots) \pm (b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n+\cdots)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots+(a_n+b_n)x^n+\cdots

两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积:

 \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)
 = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n

各种运算后,得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。

一致收敛性[编辑]

对一个收敛半径为R的幂级数\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,可以证明,幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此,考虑幂级数函数

f : (-R,R) \longrightarrow \mathbb{R}
.\ \ \ \ \ \ x \longmapsto \sum_{n=0}^\infty a_n x^n

它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。

幂级数函数的求导和积分[编辑]

可以证明,幂级数函数f在收敛区间上无穷次可导,并且可积。此外,由于幂级数函数f在收敛圆盘内一致收敛,可以进行逐项求导和积分,而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于\sum_{n=0}^\infty a_n x^n的收敛半径R。具体形式为:


f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n x^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) x^{n}

\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n  x^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} x^{n}} {n} + k

函数的幂级数展开[编辑]

鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究,如能将要研究的函数以幂级数形式来表示,将有助于对其性质的研究。然而,不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点 c 附近可展(可以展开为幂级数),当且仅当存在正实数 R>0,使得在复平面中以 c 为圆心以 R 为半径的圆D(c,R) 内(不包括边界)有:

\forall z\in D(c, R),\qquad f(z)=\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(z-c)^n

其中a_n为确定的常数。

如果一个函数在某处可展,那么它在这点无穷可导C^{\infty}),并且在这点附近的展开式是唯一的。

\forall n\in\mathbb{N},\,a_n={f^{(n)}(c)\over{n!}}

即是在这点的泰勒展开的第 n 项的值。这时展开得到的幂级数称为函数 fc 点的泰勒级数

函数的可展性[编辑]

对于一般的无穷可导函数 f,也可以写出幂级数\sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n,但即使这个幂级数收敛,其值也不一定等于 f。例如函数f

x>0时,f(x)=e^{-1/x^2}
x \le 0 时, f(x)=0

可以证明 f 无穷可导,并且在0处的每阶导数都是零,因此相应的幂级数\sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(0)\over{n!}} (x)^n恒等于0,不等于 f

函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零: R_n(x)= f(x) -\sum_{n=0}^{n} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n  \rightarrow 0

一个更常用到的充分条件是: 如果存在正实数r,使得 f 在区间(c-r,c+r) 上无穷可导,并且存在正数M使得对任意的 n,任意的x \in (c-r,c+r) 都有

 |f^n (x)| \le M

那么f可以在c附近展开成幂级数:

\forall x \in (c-r,c+r) , \ \ f(x)= \sum_{n=0}^{+{\infty}} {f^{(n)}(c)\over{n!}} (x-c)^n

常见函数的幂级数展开[编辑]

以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式

  1. \forall x\in\mathbb{C},\, e^x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^n}{n!}}.

  2. \forall x\in\mathbb{R},\, \cos 
x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.

  3. \forall x\in\mathbb{R},\, \sin x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.

  4. \forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{ch}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.

  5. \forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{sh}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.

  6. \forall x\in D(0,1),\, {1\over{1-x}}=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{x^n}.

  7. \forall x\in(-1,1],\, \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}(-1)^{n+1}{x^{n}\over{n}}.

  8. \forall x\in[-1,1],\, \arctan \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;,特别地,\pi=4\,\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{(-1)^{n}}{2\,n+1}}

  9. \forall x\in\,(-1,1),\ \forall \alpha\,\not\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}.

  10. \forall x\in\mathbb{R},\, \forall \alpha\,\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}=\sum_{n=0}^{\alpha}{{\alpha \choose n}\, x^n}.

  11. \forall x\in(-1,1),\, \operatorname{artanh} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.

  12. \forall x\in(-1,1),\, \arcsin \,x= x + \sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}

  13. \forall x\in(-1,1),\, \operatorname{arsinh} \,x=x + \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,(-1)^n\,\left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right) {\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}

  14. \forall x\in\, \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) , \ \tan x= \frac{2}{\pi}\, \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\left({\frac{x}{\pi}}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2) ,其中 \forall p>1,\,\zeta(p)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\frac{1}{n^p}

幂级数与解析函数[编辑]

局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与复解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数,并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理,解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中,所有的全纯函数(即复可微函数)都是无穷可微函数,并是复解析函数,这在实分析中则不然。

形式幂级数[编辑]

抽象代数中,幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要,敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处,例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。

多元幂级数[编辑]

幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数:


f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},

其中j = (j1, ..., jn)是一个系数为非负整数的向量。系数a(j1,...,jn)通常是实数或复数。c = (c1, ..., cn)和变量x = (x1, ..., xn) 是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中,则有


f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 史济怀,组合恒等式,中国科学技术大学出版社,2001
  • 幂级数介绍
  • 幂级数展开
  • 幂级数与泰勒展开
  • Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes
  • Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal
  • John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering, 第5版, 2006