圆

日食時看到的情形，可以清晰看到一個圓形。圓在大自然中隨處可見。

圆是一種几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合。这个给定的点称为圆的圆心。作为定值的距离称为圆的半径。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹就是一个圆。根据定义，通常用圆规来画圆。

圆作为一条闭合的曲线，将平面分为两个部分，即圆的内部和圆的外部。日常生活中的圆既可以指作为边界的曲线（这时也称为圆周），也可以指这条曲线以及它内部的部分的总和（这时也称为圆盘）。圆周的长度称为圆的周长。

圆是特殊的椭圆，所以是圆锥曲线的一种。当椭圆的离心率等于0，也就是说两个焦点重合时，就是一个圆。换句话说，圆是用垂直于圆锥对称轴线的平面截取圆锥所得到的平面曲线。

数学

定義

歐幾里德幾何

在《幾何原本》中，圆是平面圖形的一种，是一个闭合曲线，使得平面上有一個點，這點到該圖形上任一点所連之直線段長度相等。

解析几何

• 直角坐标系中的定义：$(x-x_m)^2 + (y-y_m)^2 = a^2$，其中a是半径，$(x_m,y_m)$是圆心坐标。
• 参数方程的定义：$x = x_m + a \cos \theta$，$y = y_m + a \sin \theta$
• 极坐标方程的定义（圆心在原点）：$r = a$

概念和特性

切线

• 切线：过圆上一点的切线：设该点为P(xo,yo),圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,则该点和圆的切线方程为：(xo-a)*(x-a)+(yo-b)*(y-b)=r².

• 直径：圆上每一点都到一个定点距离相等，这个点叫做圆的圆心（通常用$O$表示）。从圆心到圆上任何一点的距离被称为圆的半径（通常用$r$表示)。圆上两点最大距离是半径的两倍，也被称为圆的直径（通常用$d$表示）。离圆心距离小于或等于半径的所有点组成一个圆盘：

$k = \{X\in E\mid{}\overline{MX} <= r\}$

• 周长：圆的一周的长度被称为圆的周长(记作$C$)。圆的周长与半径的关系是：

$C= \pi d$ 或 $C= 2 \pi r$

其中$\pi$是圆周率。

• 面积：圆的面积与半径的关系是：

$S = \pi r^2$

• 弦：圆周的一部分被称为圆弧。圆周上任何两点相连的线段被称为圆的弦。圆内最长的弦會通过圆心，其长度等于圆的直径。

• 切线、割线：假如一条直线与圆相交僅有一个交点P，那么称这条直线是这个圆的切线，与圆相切于点P。这个交点P称为切点。过切點和圓心的直線与切線垂直。

假如一条直线与圆相交有两个交点的话，那么称这条直线是这个圆的割线。

• 圓心角：给定圓周上某兩點A和B，那么它们与圆心O张成的$\angle AOB$叫做圓心角。圓周上任意三點組成的角叫圓周角。设圓周上有三點A、B、C，圓心為O，那麼：

$\angle AOB=2\times \angle ACB$

也就是说，圆周角对应的圆心角的度数是它的两倍。由此可以推出，只要圓周角其中兩點A和B保持不變，改变第三点C在圆周上的位置，所形成的圓周角$\angle ACB$角度不變，都等于圆心角$\angle AOB$角度的一半。

兩圓位置關係

兩個不同大小的圓（半徑分別為$r$及$R$，圓心距為$d$，其中$r < R$）之間的可能關係如下：

1. $d = 0$：兩圓不相交（內含），互為同心圓。
2. $0 < d < R - r$：兩圓不相交（內含）。
3. $d = R - r$：兩圓相交於一點（內切），有1條共同切線。
4. $d = R + r$：兩圓相交於一點（外切），有3條共同切線。
5. $R - r < d < R + r$：兩圓相交於兩點，有2條共同切線。
6. $d > R + r$：兩圓不相交（外離），有4條共同切線。

圆系方程

在数学中，符合特定条件的圆构成一个集合，称为圆系，描述圆系的方程即为圆系方程。

类型：

• 过两圆$x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1$与$x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2$交点的圆系方程为：

• • $x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1$+λ($x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2$)=0 (λ≠-1)

• 过直线$Ax+By+C=0$与圆$x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1$的交点为:

• • $x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1$+λ($Ax+By+C$)=0

• 过两圆$x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1$与$x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2$交点的直线方程为：

• • $x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1-(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0$

推广

在非欧几何中（比如在球面几何中）也有相应的圆的定义。

圆可以看作是一种特殊的椭圆，即当椭圆的两个焦点重合，离心率等于0时的情况。参见椭圆。

可以定义三维空间中到一个定点距离相等的所有点的集合。这样定义得到的是一个空间中的闭合曲面，叫做球面。

在測度空間中，圓的定義仍舊指距離一定點等距（在該測度下）的點的集合，不過隨著測度的不同，定義出來的圓的形狀也可能大不相同。例如在計程車測度底下定義出來的圓，實際上的形狀（在一般的觀點中）會是一個正方形。

相關的立体图形

切面為圓的三維形狀有：

• 球體
• 扁球體
• 圓錐體
• 圓柱體
• 圆台

圓和其他平面形狀（特別是三角形）

• 外接圓
• 內切圓
• 旁切圓

當多邊形的每條邊固定，以有外接圓的圖形面积最大（參見等周定理）。

圓的問題

• 化圓為方是指用尺規作圖的方法將畫出和一個已知圓面積相同的正方形。已经证明这是不可能的。
• 塔斯基分割圓問題要求用分割的方法來使已知圓變成正方形。

人文

在文藝復興時期，列奥纳多·达·芬奇曾將一個人畫在圓內。

历史

早在有记载的历史之前，人类就已经对圆有了一定的认识。早在戰國時代，墨子已經為圓下了一個定義：圓，一中同長也（圓就是一個到一点之距离为定长的点的轨迹）。

字源

「圓」字亦作「圜」、「員」，是形聲字。《正字通》認為「圓」本來應該是「丸」，因讀音相近而有了圓形的意思。

哲學意義

圓形被認為完美、完整的圖形。古希臘人因「圓形是最完美的圖形」這個概念，引伸了不少思想：畢達哥拉斯認為地球是圓的；柏拉圖認為正圓是行星的軌道。古代中國人亦認為「天圓地方」，天是圓的。

圓形（圓）和正方形（方）經常被視為對立的概念。

縱使如此，古中國人亦認為圓是封閉的概念，因為在一個圓形裡，是沒有門或任何出口的。