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是一種几何图形,指的是平面中到一个定距离为定值的所有点的集合。这个给定的点称为圆的圆心。作为定值的距离称为圆的半径。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时,它的另一个端点的轨迹就是一个圆。根据定义,通常用圆规来画圆。

圆作为一条闭合的曲线,将平面分为两个部分,即圆的内部和圆的外部。日常生活中的圆既可以指作为边界的曲线(这时也称为圆周),也可以指这条曲线以及它内部的部分的总和(这时也称为圆盘)。圆周的长度称为圆的周长

圆是特殊的椭圆,所以是圆锥曲线的一种。当椭圆的离心率等于0,也就是说两个焦点重合时,就是一个圆。换句话说,圆是用垂直于圆锥对称轴线的平面截取圆锥所得到的平面曲线。

数学[编辑]

定義[编辑]

歐幾里德幾何[编辑]

在《幾何原本》中,圆是平面圖形的一种,是一个闭合曲线,使得平面上有一個,這點到該圖形上任一所連之直線段長度相等[1]

解析几何[编辑]

AE中的圆环用的就是上面参考方程,从而控制角度,确定每个角度的XY位置,当然再这之前你要将弧度转化角度

概念和特性[编辑]

CirclesLines ZH.png

切线[编辑]

  • 切线:过圆上一点的切线:设该点为P(xo,yo),圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,则该点和圆的切线方程为:(xo-a)*(x-a)+(yo-b)*(y-b)=r².
  • 直径:圆上每一点都到一个定点距离相等,这个点叫做圆的圆心(通常用O表示)。从圆心到圆上任何一点的距离称为圆的半径(通常用r表示)。圆上两点最大距离是半径的两倍,也称为圆的直径(通常用d表示)。离圆心距离小于或等于半径的所有点组成一个圆盘
k = \{X\in E\mid{}\overline{MX} <= r\}
  • 周长:圆的一周的长度称为圆的周长(记作C)。圆的周长与半径的关系是:
C= \pi dC= 2 \pi r

其中\pi圆周率

S = \pi r^2
  • 弦:圆周的一部分称为圆弧。圆周上任何两点相连的线段称为圆的。圆内最长的弦會通过圆心,其长度等于圆的直径。
Sehnentangentenwinkel.png
  • 切线、割线:假如一条直线与圆相交僅有一个交点P,那么称这条直线是这个圆的切线,与圆相切于点P。这个交点P称为切点。过切點和圓心的直線与切線垂直

假如一条直线与圆相交有两个交点的话,那么称这条直线是这个圆的割线

  • 圓心角:给定圓周上某兩點A,\;B,那么它们与圆心O张成的\angle AOB叫做圓心角。圓周上任意三點組成的角叫圓周角。设圓周上有三點A,\; B,\; C,圓心為O,那麼:
\angle AOB=2\; \angle ACB.

也就是说,圆周角对应的圆心角的度数是它的两倍。由此可以推出,只要圓周角其中兩點AB保持不變,改变第三点C在圆周上的位置,所形成的圓周角\angle ACB角度不變,都等于圆心角\angle AOB角度的一半。

圆心角示意图

兩圓位置關係[编辑]

Two circles.png

兩個不同大小的圓(半徑分別為rR,圓心距為d,其中r < R)之間的可能關係如下:

  1. d = 0:兩圓不相交(內含),互為同心圓
  2. 0 < d < R - r:兩圓不相交(內含,亦稱「內離」)。
  3. d = R - r:兩圓相交於一點(內切),有1條共同切線。
  4. d = R + r:兩圓相交於一點(外切),有3條共同切線。
  5. R - r < d < R + r:兩圓相交於兩點,有2條共同切線。
  6. d > R + r:兩圓不相交(外離),有4條共同切線。

圆系方程[编辑]

数学中,符合特定条件的构成一个集合,称为圆系,描述圆系的方程即为圆系方程。

类型

  • 过两圆x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2交点的圆系方程为:
    • x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+λ(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0(λ≠-1)
  • 过直线Ax+By+C=0与圆x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1的交点为:
    • x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+λ(Ax+By+C)=0
  • 过两圆x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2交点的直线方程为:
    • x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1-(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0

推广[编辑]

非欧几何中(比如在球面几何中)也有相应的圆的定义。

圆可以看作是一种特殊的椭圆,即当椭圆的两个焦点重合,离心率等于0时的情况。参见椭圆

可以定义三维空间中到一个定点距离相等的所有点的集合。这样定义得到的是一个空间中的闭合曲面,叫做球面

在測度空間中,圓的定義仍舊指距離一定點等距(在該測度下)的點的集合,不過隨著測度的不同,定義出來的圓的形狀也可能大不相同。例如在計程車測度底下定義出來的圓,實際上的形狀(在一般的觀點中)會是一個正方形。

相關的立体图形[编辑]

切面為圓的三維形狀有:

圓和其他平面形狀(特別是三角形)[编辑]

當多邊形的每條邊固定,以有外接圓的圖形面积最大(參見等周定理)。

圓的問題[编辑]

历史[编辑]

早在有记载的历史之前,人类就已经对圆有了一定的认识。早在戰國時代,墨子已經為圓下了一個定義:圓,一中同長也(圓就是一個到一点之距离为定长的点的轨迹)。

字源[编辑]

「圓」字亦作「圜」、「員」,是形聲字。《正字通》認為「圓」本來應該是「丸」,因讀音相近而有了圓形的意思。

哲學意義[编辑]

圓形被認為完美、完整的圖形。古希臘人因「圓形是最完美的圖形」這個概念,引伸了不少思想:畢達哥拉斯認為地球是圓的;柏拉圖認為正圓是行星的軌道。古代中國人亦認為「天圓地方」,天空是圓形,大地是方形。

圓形(圓)和正方形(方)經常被視為對立的概念。

縱使如此,古中國人亦認為圓是封閉的概念,因為在一個圓形裡,是沒有門或任何出口的。

参考来源[编辑]