參數方程

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用参数方程可以很容易表示出的曲线

參數方程函數很相似:它們都是由一些在指定的,稱為參數或自變數,以決定因變數的結果。例如在運動學,參數通常是「時間」,而方程的結果是速度、位置等。

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数: 
\begin{cases}
x = f(t)\\
y = g(t)
\end{cases}
, 并且对于t的每一个允许的取值,由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数。相对而言,直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

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x = a \cos(t), y = a \sin(t),表示了平面上半徑為a、以原點為圓心的。在三維,加入z=bt,便是螺旋的圖形。這些式子可以表示成:

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a \cos(t), a \sin(t), b t)\,

如果有一個粒子,沿這個螺旋的路徑而行,直接微分上面的式子便會得到粒子的速度:

v(t) = r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) = (-a \sin(t), a \cos(t), b)\,

加速度

a(t) = r''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t)) = (-a \cos(t), -a \sin(t), 0)\,

參數曲線亦可以是多於一個參數的函數。例如參數表面是兩個參數(s,t)或(u,v)的函數。

譬如一個圓柱:

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (a \cos(u), a \sin(u), v)\,


参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时,它的位置必然与时间有关系,也就是说,质的坐标x,y与时间t之间有函数关系x=f(t),y=g(t),这两个函数式中的变量t,相对于表示质点的几何位置的变量x,y来说,就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量,被抽象到数学中,就成了参数。我们所学的参数方程中的参数,其任务在于沟通变量x,y及一些常量之间的联系,为研究曲线的形状和性质提供方便。

  用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,列出的方程既复杂又不易理解,如圆的渐开线的普通方程。

  

  根据方程画出曲线十分费时;而利用参数方程把两个变量x,y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难。

常见参数方程[编辑]

过(h, k),斜率为m的直线: \begin{cases}x = h + t \\ y = k + mt \end{cases}

圆:\begin{cases}x = r \cos t \\ y = r \sin t \end{cases}

椭圆:\begin{cases}x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}

双曲线:\begin{cases}x = a \sec t \\ y = b \tan t \end{cases}

抛物线:\begin{cases}x = 2ct\\ y = t^2 \end{cases}

螺线:\begin{cases}x = t \cos lt \\ y = t \sin lt \end{cases}

摆线:\begin{cases}x = r \cdot \left ( t - \sin t \right ) \\ y = r \cdot \left ( 1 - \cos t \right ) \end{cases}

注:上文中的a, b, c, h, k, p, r为已知数,t都为参数, x, y为变量

參見[编辑]