最速降線問題

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从点A到点B的最速降线是一条摆线。

重力作用且忽略摩擦力的情況下,一個質點在一點A速率為零開始,沿某條曲線,去到一點不高於AB,怎樣的曲線能令所需的時間最短呢?這就是最速降線問題,又稱最短時間問題最速落徑問題。在部分歐洲語言中,這個問題稱為Brachistochrone,即希臘語中的「最短」(brochistos)和「時間」(chronos)。這條線段就是擺線,可以用變分學证明。

歷史[编辑]

1638年,伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡,証明了此線是擺線,並在1696年6月在《博學通報》發表。艾薩克·牛頓雅各布·伯努利萊布尼茲洛必達都得出同一結論,即正确的答案应该是摆线的一段。事实上,約翰·伯努利当时找到的证明方法是错误的。而正确的证法是由他的哥哥雅各布发现的,在他发现以后,伯努利则将其据为己有。除了洛必達的解外,其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。

证明[编辑]

约翰·伯努利的证明[编辑]

费马原理说明,两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,通过假设光在光速以恒定竖直加速度(也就是重力加速度g)加速的介质中运动形成的轨迹来导出最速降线。

运用机械能守恒定律,可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足

v=\sqrt{2gy},

式中y表示物体在竖直方向上下落的距离。通过机械能守恒可知,经不同的曲线下落,物体的速度与水平方向的位移无关。
约翰·伯努利注意到,根据折射定律,一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

\frac{\sin{\theta}}{v}=\frac{1}{v}\frac{dx}{ds}=\frac{1}{v_m},

式中vm为常数,θ为轨迹与竖直方向的夹角,dx为水平方向路径微分,ds为运动方向路径微分。

通过上述方程,我们可以得到两条结论:

  1. 在刚开始,当质点的速度为零时,夹角也必然是零。因此,最速降线在起始处与竖直方向相切
  1. 当轨迹变为水平即夹角变为90°时,速度达到最大。

为了简化过程,我们假设质点(或光束)相对于原点(0,0)有坐标(x,y),且当下落了竖直距离D后达到了最大速度,则

v_m=\sqrt{2gD}.

整理折射定律式中的各项并平方得到

v_m^2(dx)^2=v^2(ds)^2=v^2((dx)^2+(dy)^2)

可以解得dxdy

dx=\frac{v dy}{\sqrt{v_m^2-v^2}}.

代入v和vm的表达式得到

dx=\sqrt{\frac{y}{D-y}}dy

这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程

雅各布·伯努利的证明[编辑]

约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。
如果我们从最短时间路径发生微小移动,那么形成三角形满足

ds^2=dx^2+dy^2.

dy不变求微分,得到

2ds\ d^2s=2dx\ d^2x

最后整理得到

\frac{dx}{ds}d^2x=d^2s=v\ d^2t

最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径,中间的水平间隔为d2x。对新旧两条路径,改变量为

Path function 2.PNG
d^2t_1=\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}d^2x
d^2t_2=\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}d^2x

对于最短时间的路径,两个时间相等,故得到

d^2t_2-d^2t_1=0=\bigg(\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}-\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}\bigg)d^2x

因此最短时间的情况为

\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}=\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}

最速降線的數學形式與最短時間[编辑]

在垂直平面上,自原點\left(\,0,\,0\right)至目的地\left(\,x_1,\,y_1\right)的最速降線具有以下數學形式:

x=\frac{1}{2}k^2\left(\theta-\sin\theta\right),\ y=\frac{1}{2}k^2\left(1-\cos\theta\right).[1]

這裡的y座標軸方向向下,且y_1\geq 0\theta為此擺線參數表達式的參數,原點處\theta=0

物體自原點沿最速降線滑至\theta=\theta_1處所需的時間可由以下積分式給出:

t=\int_{\theta=0}^{\theta=\theta_1} \mathrm dt=\int_{\theta=0}^{\theta=\theta_1} \frac{\mathrm ds}{v}

利用ds=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2}以及v=\sqrt{2gy},並以\theta作為參數,整理後得

\frac{ds}{v}=\frac{k}{\sqrt{2g}}\mathrm d\theta

t=\frac{k}{\sqrt{2g}}\theta_1

自此擺線的參數式中易知y的最大值為k^2,此值必須等於擺線的繞轉圓直徑2r,因此

k=\sqrt{2r}

t=\theta_1\sqrt{\frac{r}{g}}

現假設終點與原點直線距離\ l\ ,且終點對原點的俯角\phi。利用此擺線的參數式,可知

l=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=r\sqrt{\left(\theta-\sin\theta\right)^2+\left(1-\cos\theta\right)^2}

最速降線問題的終點俯角-最短下滑時間關係曲線。圖中原點到終點的直線距離定為1.00公尺,下滑時間隨俯角增大而縮短。

\tan\phi=\frac{y_1}{x_1}=\frac{1-\cos\theta}{\theta-\sin\theta}

利用l的關係式求出r,並代回下滑時間中,得

t\,\left(\,l,\,\theta\right)=\sqrt{\frac{l}{g}}\frac{\theta}{\sqrt[4]{\left(\theta-\sin\theta\right)^2+\left(1-\cos\theta\right)^2}}

綜合上述,討論在\ l\ 已知的情況下,下滑時間t與俯角\phi的關係為

\left(\,\phi,\,t\right)=\left(\,\arctan\frac{1-\cos\theta}{\theta-\sin\theta},\,\sqrt{\frac{l}{g}}\frac{\theta}{\sqrt[4]{\left(\theta-\sin\theta\right)^2+\left(1-\cos\theta\right)^2}}\right)

外部連接[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld. [2014-08-10].