最速降線問題

从点A到点B的最速降线是一条摆线。

在重力作用且忽略摩擦力的情況下，一個質點在一點A以速率為零開始，沿某條曲線，去到一點不高於A的B，怎樣的曲線能令所需的時間最短呢？這就是最速降線問題，又稱最短時間問題、最速落徑問題。在部分歐洲語言中，這個問題稱為Brachistochrone，即希臘語中的「最短」（brochistos）和「時間」（chronos）。這條線段就是擺線，可以用變分學求證。

歷史

1638年，伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡，証明了此線是擺線，並在1696年6月在《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各布·伯努利、萊布尼茲和洛必達都得出同一結論,即正确的答案应该是摆线的一段.事实上,約翰·伯努利当时找到的证明方法是错误的.而正确的证法是由他的哥哥雅各布发现的,在他发现以后,伯努利则将其据为己有.除了洛必達的解外，其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。

证明

约翰·伯努利的证明

费马原理说明，两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理，通过假设光在光速以恒定竖直加速度(也就是重力加速度g)加速的介质中运动形成的轨迹来导出最速降线。

运用机械能守恒,可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足

$v=\sqrt{2gy}$,

式中y表示物体在竖直方向上下落的距离。通过机械能守恒可知，经不同的曲线下落，物体的速度与水平方向的位移无关。
约翰·伯努利注意到，根据折射定律，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

$\frac{\sin{\theta}}{v}=\frac{1}{v}\frac{dx}{ds}=\frac{1}{v_m}$,

式中v_m为常数，θ为轨迹与竖直方向的夹角，dx为水平方向路径微分，ds为运动方向路径微分。

通过上述方程，我们可以得到两条结论：

1. 在刚开始，当质点的速度为零时，夹角也必然是零。因此，最速降线在起始处与竖直方向相切。

1. 当轨迹变为水平即夹角变为90°时，速度达到最大。

为了简化过程，我们假设质点(或光束)相对于原点(0,0)有坐标(x,y)，且当下落了竖直距离D后达到了最大速度，则

$v_m=\sqrt{2gD}$.

整理折射定律式中的各项并平方得到

$v_m^2 dx^2=v^2 ds^2=v^2 (dx^2+dy^2)$

可以解得dx对dy有

$dx=\frac{v dy}{\sqrt{v_m^2-v^2}}$.

代入v和v_m的表达式得到

$dx=\sqrt{\frac{y}{D-y}}dy$

这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。

雅各布·伯努利的证明

约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。
如果我们从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足

$ds^2=dx^2+dy^2$.

dy不变求微分，得到

$2ds\ d^2s=2dx\ d^2x$

最后整理得到

$\frac{dx}{ds}d^2x=d^2s=v\ d^2t$

最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径，中间的水平间隔为d²x。对新旧两条路径，改变量为

$d^2t_1=\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}d^2x$

$d^2t_2=\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}d^2x$

对于最短时间的路径，两个时间相等，故得到

$d^2t_2-d^2t_1=0=\bigg(\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}-\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}\bigg)d^2x$

因此最短时间的情况为

$\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}=\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}$

外部連接

• Brachistochrone Construction：計算兩點之間，質點使用不同路徑所需的時間（Java Applet，（英文））
• 重力下的最快下降曲線：國立中央大學物理演示實驗網站；內含實驗影片。
• Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld-：有詳細的公式證明。（英文）