最速降線問題

从点A到点B的最速降线是一条摆线。

在重力作用且忽略摩擦力的情況下，一個質點在一點A以速率為零開始，沿某條曲線，去到一點不高於A的B，怎樣的曲線能令所需的時間最短呢？這就是最速降線問題，又稱最短時間問題、最速落徑問題。在部分歐洲語言中，這個問題稱為Brachistochrone，即希臘語中的「最短」（brochistos）和「時間」（chronos）。這條線段就是擺線，可以用變分學求證。

歷史

1638年，伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡，証明了此線是擺線，並在1696年6月在《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各布·伯努利、萊布尼茲和洛必達都得出同一結論。除了洛必達的解外，其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。

外部連接

• Brachistochrone Construction：計算兩點之間，質點使用不同路徑所需的時間（Java Applet，（英文））
• 重力下的最快下降曲線：國立中央大學物理演示實驗網站；內含實驗影片。
• Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld-：有詳細的公式證明。（英文）