正交群

数学上，数域 F 上的 n 阶正交群，记作 O(n,F)，是 F 上的 n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群 GL(n,F) 的子群，由

$\mathrm{O}(n,F) = \{ Q \in \mathrm{GL}(n,F) \mid Q^T Q = Q Q^T = I \} \;$ 给出。

这里 Q^T 是 Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为 O(n)。

更一般地，F 上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。

每个正交矩阵的行列式为 1 或 −1。行列式为 1 的 n×n 正交矩阵组成一个 O(n,F)的 正规子群，称为特殊正交群 SO(n,F)。如果 F 的特征为 2，那么 1 = −1，从而 O(n,F) 和 SO(n,F) 相等；其他情形 SO(n,F) 在 O(n,F) 中的指数是 2。 特征 2 且偶数维时，很多作者用另一种定义，定义 SO(n,F) 为迪克森不变量的核，这样它在 O(n,F) 中总有指数 2。

O(n,F) 和 SO(n,F) 都是代数群，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于逆矩阵 ，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。

实数域上的正交群

实数域 R 上的正交群 O(n,R) 和特殊正交群 SO(n,R) 在不会引起误会时经常记为O(n) 和 SO(n)。他们是n(n-1)/2 维实紧李群。O(n,R) 有两个连通分支，SO(n,R) 是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。

实正交群和特殊正交群有如下的解释：

O(n,R) 是欧几里得群 E(n) 的子群，E(n) 是 Rⁿ 的等距群；O(n,R) 由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面 和所有球面对称的对象的对称群。

SO(n,R) 是 E⁺(n) 的子群，E⁺(n) 是“直接”等距，即保持定向的等距；SO(n,R) 由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。

{ I, −I } 是 O(n,R) 的正规子群并是特征子群；如果 n 是偶数，对 SO(n,R) 也对。 如果 n 是奇数，O(n,R) 是 SO(n,R) 和 { I, −I } 的直积。k 重旋转循环群 C_k 对任何正整数 k 都是 O(2,R) 和 SO(2,R) 的正规子群。

取合适的正交基，等距是

$\begin{bmatrix} \begin{matrix}R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k\end{matrix} & 0 \\ 0 & \begin{matrix}\pm 1 & & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

的形式。这里矩阵 R₁,...,R_k 是 2×2 旋转矩阵。

圆的对称群是 O(2,R)，也称为 Dih(S¹)，这里 S¹ 是模长 1 複数的乘法群。

SO(2,R) (作为李群)同构于圆 S¹ （圆群）。这个同构将複数 exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ) 映到正交矩阵

$\begin{bmatrix}\cos(\phi)&-\sin(\phi)\\ \sin(\phi)&\cos(\phi)\end{bmatrix}.$

群 SO(3,R)，视为 3 维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3 旋转矩阵利用轴和角的一般公式

在代数拓扑方面，对 n > 2，SO(n,R) 的基本群是2阶循环，而自旋群 Spin(n) 是其万有覆叠。对 n = 2 基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴 （旋量群 Spin(2) 是惟一的 2 重覆叠）

李群 O(n,R) 和 SO(n,R 的李代数由斜对称 实 n×n 矩阵组成，李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o(n,R) 或 so(n,R)。

保持原点的3维同构

保持 R³ 原点不动的同构，组成群 O(3,R)，能分成如下几类：

• SO(3,R):
  • 恒同
  • 绕一个过原点的轴转动不等于 180°
  • 绕一个过原点的轴转动 180°
• 以上与关于原点的点反演（x 映到 −x）复合，分别为：
  • 关于原点的点反演
  • 绕一轴旋转一个不等于180°的角度，与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
  • 关于一个过原点的平面的反射

特别地指出 4 阶和 5 阶正交群，在更宽泛的意义下 6 阶也是，称为反射旋转（improper rotation）。类似的参见欧几里得群。

共形群

作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。 Rⁿ 的线性共形映射构成的群记作 CO(n)，由正交群和收缩的乘积给出。如果 n 是奇数，两个子群不相交，他们是直积：$\operatorname{CO}(2n+1) = \operatorname{O}(2n+1) \times \mathbf{R}$；如果 n 是偶数，两个子群的交是 $\pm 1$，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：$\operatorname{CO}(2n) = \operatorname{O}(2n) \times \mathbf{R}^+ \;$。

我们可以类似地定义 CSO(n)，这时总有 $\operatorname{CSO}(n) := \operatorname{CO}(n) \cap \operatorname{GL}_+(n) = \operatorname{SO}(n) \times \mathbf{R}^+ \;$。

複数域上正交群

複数域 C 上， O(n,C) 和 SO(n,C) 是 C上 n(n-1)/2 维的李群，这意味着实维数是 n(n-1)。 O(n,C) 有两个连通分支， SO(n,C) 是包含恒同矩阵的分支。当 n ≥ 2 时，这些群非紧。

和实情形一样， SO(n,C) 不是单连通的，对 n > 2 SO(n,C) 的基本群是 2 阶循环群，而 SO(2,C) 的基本群是无穷循环群。

O(n,C) 和 SO(n,C) 的複李代数由斜对称複 n×n矩阵组成，李括号由交换子给出。

拓扑

低维数

低维实正交群是熟悉的空间：

$\begin{align} O(1) &= \left\{\pm 1\right\} = S^0\\ SO(1) &= \left\{1\right\} = *\\ SO(2) &= S^1\\ SO(3) &= \mathbf{RP}^3 \end{align}$

由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡。

同伦群

正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关，从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列

$O(0) \subset O(1)\subset O(2)\subset\cdots\subset O = \bigcup_{k=0}^\infty O(k)$

的正向极限（因为包含都是闭包含，从而是上纤维化，也能理解成并）。

$S^n$ 是 $O(n+1)$ 的齐性空间，从而有如下纤维丛：

$O(n) \to O(n+1) \to S^n,$

可以理解为：正交群 $O(n+1)$ 传递地作用于单位球面 $S^n$ 上，一点（看作一个单位向量）的稳定子群是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射 $O(n) \to O(n+1)$ 是自然包含。

从而包含 $O(n) \to O(n+1)$ 是 (n-1) -连通的，故同伦群稳定，对 $n > k + 1$ 有 $\pi_k(O) = \pi_k(O(n))$，所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。

通过博特周期性定理，$\Omega^8 O \simeq O$，从而 O 的同伦群以 8 为周期，即 $\pi_{k+8} O = \pi_k O$， 这样我们只要计算出最低 8 个同伦群就算出了所有群。

$\begin{align} \pi_0 O &= \mathbf Z/2\\ \pi_1 O &= \mathbf Z/2\\ \pi_2 O &= 0\\ \pi_3 O &= \mathbf Z\\ \pi_4 O &= 0\\ \pi_5 O &= 0\\ \pi_6 O &= 0\\ \pi_7 O &= \mathbf Z\\ \end{align}$

和 KO-理论的关系

通过cluching construction，稳定空间 O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：$\pi_k O = \pi_{k+1} BO$。

设 $KO = BO \times \mathbf Z = \Omega^{-1} O \times \mathbf Z$ （使得$\pi_0$ 满足周期性），我们得到：

$\begin{align} \pi_0 KO &= \mathbf Z\\ \pi_1 KO &= \mathbf Z/2\\ \pi_2 KO &= \mathbf Z/2\\ \pi_3 KO &= 0\\ \pi_4 KO &= \mathbf Z\\ \pi_5 KO &= 0\\ \pi_6 KO &= 0\\ \pi_7 KO &= 0\\ \end{align}$

同伦群的计算和解释

低维群

最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。

• $\pi_0(O) = \pi_0(O(1)) = \mathbf Z/2$ 保持/反 定向 （这个类存留到$O(2)$ 从而稳定）

$SO(3) = \mathbf{RP}^3 = S^3/(\mathbf Z/2)$ 得出：

• $\pi_1(O) = \pi_1(SO(3)) = \mathbf Z/2$ 即自旋群
• $\pi_2(O) = \pi_2(SO(3)) = 0$，有到 $\pi_2(SO(4))$ 的满射，从而后一个群消失。

李群

由李群一般性事实，$\pi_2 G$ 总消失，$\pi_3 G$ 是自由阿贝尔群。

向量丛

从向量丛的观点来看，$\pi_0(KO)$ 是 $S^0$ 上的向量丛，具有两个点。从而在每个点上，丛是平凡的，这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差， 所以

$\pi_0(KO) = \mathbf Z$ 是维数。

环路空间

利用博特周期性中环路空间具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用 $\pi_0$、 O ，以及 O/U 有两个分支，$KO = BO \times \mathbf Z$ 和 $KSp = BSp \times \mathbf Z$ 有 $\mathbf Z$ 个分支，其实是连通的。

同伦群的解释

一小部分结论：

• $\pi_0(KO) = \mathbf Z$ 是维数
• $\pi_1(KO) = \mathbf Z/2$ 是定向
• $\pi_2(KO) = \mathbf Z/2$ 是 自旋
• $\pi_4(KO) = \mathbf Z$ 是拓扑量子场理论

令 $F = \mathbf R, \mathbf C, \mathbf H, \mathbf O$，以及 $L_F$ 为射影线 $\mathbf{FP}^1$ 上的重複线丛，$[L_F]$ 是其 K-理论。注意到 $\mathbf{RP}^1 = S^1, \mathbf{CP}^1 = S^2, \mathbf{HP}^1 = S^4, \mathbf{OP}^1 = S^8$，这些得出相应球面上的向量丛，以及：

• $\pi_1(KO)$ 由 $[L_{\mathbf R}]$ 生成
• $\pi_2(KO)$ 由 $[L_{\mathbf C}]$ 生成
• $\pi_4(KO)$ 由 $[L_{\mathbf H}]$ 生成
• $\pi_8(KO)$ 由 $[L_{\mathbf O}]$ 生成

有限群上的正交群

正交群也能定義在有限域 $\mathbf{F}_q$ 上，這里 $q$ 是一個質數 $p$ 的冪。在這樣的域上定義正交群，偶數維時有兩類： $O^+(2n, q)$ 和 $O^-(2n, q)$；奇數維有一類：$O(2n+1, q)$ 。

如果 $V$ 是正交群 $G$ 作用的向量空間，它可以寫成正交直和：

$V = L_1 \oplus L_2 \oplus \cdots \oplus L_m \oplus W$，

這里 $L_i$ 是 雙曲線 而 $W$ 不包含奇異向量。如果 $W = 0$，那么 $G$ 是正類型；若 $W =$ 那么 $G$ 有偶維數；若 $W$ 有維數 2，則 $G$ 是負類型。

在 n = 1 的特例， $O^\epsilon(2, q)$ 是階為 $2(q - \epsilon)$ 的二面體群。

當特征大于 2 時，記 O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·A^t=I }。關于這些群的階數我們有以下公式

$|O(2n+1,q)|=2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).$

如果 $-1$ 是 $\mathbf{F}_q$ 中的平方元素

$|O(2n,q)|=2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).$

如果 $-1$ 不是 $\mathbf{F}_q$ 中的平方元素

$|O(2n,q)|=2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).$

迪克森不变量

对偶数维正交群，迪克森不变量 是从正交群到 Z/2Z 的同态，是 0 或 1 取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于 2 的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于 −1 的 迪克森不变量次幂。

在特征 2 的域上，行列式总为 1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征 2 域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为 0 的元素，而不是行列式为 1。

迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和 Pin 群类似地定义。

特征 2 域上正交群

特征 2 域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同：

• 任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是兩個元素的域上的维特指标為 2 的 4 維向量空間(Grove 2002，Theorem 6.6 and 14.16)

。注意特征 2 域上的反射定義稍不同。特征 2 域，垂直于一個向量 u 的反射將 v 映為 v+B(v,u)/Q(u)·u，這里 B 是一個雙線性形式，Q 是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是將v 映到 v-2·B(v,u)/Q(u)·u，當奇特征和零特征時與比較兩者不同。

• 特征 2 時正交群的中心總是 1 階，而不是 2 階。

• 在特征 2 的奇維數 2n+1 時，完全域上的正交群和 2n 維辛群相同。事實上特征 2 時的辛形式時可交換的，而維數為奇數故總有一個 1 維的核，模去核的商是一個 2n 維辛空間，正交群作用在它上面。

• 在特征 2 的偶維數，正交群是辛群的一個子群，因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。

旋量模

旋量模是一個從域 F 上正交群到域 F 的乘法群模去平方元素

F^*/F^*2

的同態，将关于模长为 n 向量的反射映到 F^*/F^*2 中的 n。

旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

伽罗瓦上同调和正交群

代数群的伽罗瓦上同调理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系； 但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦 H¹ 等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式相联系。

一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群（更准确地pin 群）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列：

$1 \rightarrow \mu_2 \rightarrow Pin_V \rightarrow O_V \rightarrow 1$

这里 μ₂ 是单位根的代数群；在一个特征非 2 的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。

从 H⁰ （就是取值于 F 中点的群 O_V(F) ）到H¹(μ₂) 的连接同态本质上是 spinor 模，因为 H¹(μ₂) 同构于域模去平方元素的乘法群。

正交群的 H¹ 到自旋群覆叠的核的 H² 也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。

重要子群

物理中，特别是在 Kaluza-Klein 紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：

$O(n) \supset O(n-1)$

$O(2n) \supset SU(n)$

$O(2n) \supset USp(n)$

$O(7) \supset G_2$

正交群 O(n) 也是一些李群的重要子群：

$SU(n) \supset O(n)$

$USp(2n) \supset O(n)$

$G_2 \supset O(3)$

$F_4 \supset O(9)$

$E_6 \supset O(10)$

$E_7 \supset O(12)$

$E_8 \supset O(16)$

群 O(10) 在超弦理论中非常重要，因为它是10维时空的对称群。

另见

• 旋转群, SO(3,R)
• SO(8)
• 广义正交群
• 酉群
• 辛群
• 有限单群列表
• 单李群列表

参考文献

• Grove, Larry C., Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics, 39, Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2002, MR1859189, ISBN 978-0-8218-2019-3 

外部链接

• John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105
• John Baez on Octonions