正交群

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数学上,数域 F 上的 n正交群,记作 O(n,F),是 F 上的 n×n 正交矩阵矩阵乘法下构成的。它是一般线性群 GL(n,F) 的子群,由

\mathrm{O}(n,F) = \{ Q \in \mathrm{GL}(n,F) \mid Q^T Q = Q Q^T = I \} \; 给出。

这里 QTQ转置。实数域上的经典正交群通常就记为 O(n)。

更一般地,F 上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。

每个正交矩阵的行列式为 1 或 −1。行列式为 1 的 n×n 正交矩阵组成一个 O(n,F)的 正规子群,称为特殊正交群 SO(n,F)。如果 F特征为 2,那么 1 = −1,从而 O(n,F) 和 SO(n,F) 相等;其他情形 SO(n,F) 在 O(n,F) 中的指数是 2。 特征 2 且偶数维时,很多作者用另一种定义,定义 SO(n,F) 为迪克森不变量的,这样它在 O(n,F) 中总有指数 2。

O(n,F) 和 SO(n,F) 都是代数群,因为如果一个矩阵是正交的条件,即转置等于逆矩阵 ,能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。


群论
Rubik's cube.svg

实数域上的正交群[编辑]

实数域 R 上的正交群 O(n,R) 和特殊正交群 SO(n,R) 在不会引起误会时经常记为O(n) 和 SO(n)。他们是n(n-1)/2 李群。O(n,R) 有两个连通分支,SO(n,R) 是单位分支,即包含单位矩阵的连通分支。

实正交群和特殊正交群有如下的解释:

O(n,R) 是欧几里得群 E(n) 的子群,E(n) 是 Rn等距群;O(n,R) 由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面 和所有球面对称的对象的对称群

SO(n,R) 是 E+(n) 的子群,E+(n) 是“直接”等距,即保持定向的等距;SO(n,R) 由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。

{ I, −I } 是 O(n,R) 的正规子群并是特征子群;如果 n 是偶数,对 SO(n,R) 也对。 如果 n 是奇数,O(n,R) 是 SO(n,R) 和 { I, −I } 的直积k旋转循环群 Ck 对任何正整数 k 都是 O(2,R) 和 SO(2,R) 的正规子群。

取合适的正交基,等距是

\begin{bmatrix}
\begin{matrix}R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k\end{matrix} & 0 \\
0 & \begin{matrix}\pm 1 & & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{matrix} \\
\end{bmatrix}

的形式。这里矩阵 R1,...,Rk 是 2×2 旋转矩阵。

对称群是 O(2,R),也称为 Dih(S1),这里 S1 是模长 1 複数的乘法群。

SO(2,R) (作为李群)同构于圆 S1圆群)。这个同构将複数 exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ) 映到正交矩阵

\begin{bmatrix}\cos(\phi)&-\sin(\phi)\\
\sin(\phi)&\cos(\phi)\end{bmatrix}.

群 SO(3,R),视为 3 维空间的旋转,是科学和工程中最重要的群。参见旋转群3×3 旋转矩阵利用轴和角的一般公式

代数拓扑方面,对 n > 2,SO(n,R) 的基本群2阶循环,而自旋群 Spin(n) 是其万有覆叠。对 n = 2 基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴 (旋量群 Spin(2) 是惟一的 2 重覆叠)

李群 O(n,R) 和 SO(n,R李代数斜对称n×n 矩阵组成,李括号交换子给出。这个李代数经常记为 o(n,R) 或 so(n,R)。

保持原点的3维同构[编辑]

保持 R3 原点不动的同构,组成群 O(3,R),能分成如下几类:

  • SO(3,R):
    • 恒同
    • 绕一个过原点的轴转动不等于 180°
    • 绕一个过原点的轴转动 180°
  • 以上与关于原点的点反演x 映到 −x)复合,分别为:
    • 关于原点的点反演
    • 绕一轴旋转一个不等于180°的角度,与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
    • 关于一个过原点的平面的反射

特别地指出 4 阶和 5 阶正交群,在更宽泛的意义下 6 阶也是,称为反射旋转improper rotation)。类似的参见欧几里得群

共形群[编辑]

作为保持距离的同构,正交变换也保角,从而是共形变换,但是不是所有的共形变换都是正交变换。 Rn 的线性共形映射构成的群记作 CO(n),由正交群和收缩的乘积给出。如果 n 是奇数,两个子群不相交,他们是直积:\operatorname{CO}(2n+1) = \operatorname{O}(2n+1) \times \mathbf{R};如果 n 是偶数,两个子群的交是 \pm 1,所以这不是直积,但这是和正收缩子群的直积:\operatorname{CO}(2n) = \operatorname{O}(2n) \times \mathbf{R}^+ \;

我们可以类似地定义 CSO(n),这时总有 \operatorname{CSO}(n) := \operatorname{CO}(n) \cap \operatorname{GL}_+(n) = \operatorname{SO}(n) \times \mathbf{R}^+ \;

複数域上正交群[编辑]

複数域 C 上, O(n,C) 和 SO(n,C) 是 Cn(n-1)/2 维的李群,这意味着实维数是 n(n-1)。 O(n,C) 有两个连通分支, SO(n,C) 是包含恒同矩阵的分支。当 n ≥ 2 时,这些群非紧。

和实情形一样, SO(n,C) 不是单连通的,对 n > 2 SO(n,C) 的基本群是 2 阶循环群,而 SO(2,C) 的基本群是无穷循环群。

O(n,C) 和 SO(n,C) 的複李代数斜对称n×n矩阵组成,李括号交换子给出。

拓扑[编辑]

低维数[编辑]

低维实正交群是熟悉的空间:

\begin{align}
O(1) &= \left\{\pm 1\right\} = S^0\\
SO(1) &= \left\{1\right\} = *\\
SO(2) &= S^1\\
SO(3) &= \mathbf{RP}^3
\end{align}

由于三维旋转在工程中有重要应用,产生了很多SO(3)上的卡

同伦群[编辑]

正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关,从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群(也称为有限正交群),定义为包含序列

O(0) \subset O(1)\subset O(2)\subset\cdots\subset O = \bigcup_{k=0}^\infty O(k)

正向极限(因为包含都是闭包含,从而是上纤维化,也能理解成)。

S^nO(n+1)齐性空间,从而有如下纤维丛

O(n) \to O(n+1) \to S^n,

可以理解为:正交群 O(n+1) 传递地作用于单位球面 S^n 上,一点(看作一个单位向量)的稳定子群是其正交补的正交群,这是第一维的正交群。映射 O(n) \to O(n+1) 是自然包含。

从而包含 O(n) \to O(n+1)(n-1) -连通的,故同伦群稳定,对 n > k + 1\pi_k(O) = \pi_k(O(n)),所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。

通过博特周期性定理,\Omega^8 O \simeq O,从而 O 的同伦群以 8 为周期,即 \pi_{k+8} O = \pi_k O, 这样我们只要计算出最低 8 个同伦群就算出了所有群。

\begin{align}
\pi_0 O &= \mathbf Z/2\\
\pi_1 O &= \mathbf Z/2\\
\pi_2 O &= 0\\
\pi_3 O &= \mathbf Z\\
\pi_4 O &= 0\\
\pi_5 O &= 0\\
\pi_6 O &= 0\\
\pi_7 O &= \mathbf Z\\
\end{align}

和 KO-理论的关系[编辑]

通过cluching construction,稳定空间 O的同伦群和稳定球面上的向量丛等价(同构的意义下),提高一个维数:\pi_k O = \pi_{k+1} BO

KO = BO \times \mathbf Z = \Omega^{-1} O \times \mathbf Z (使得\pi_0 满足周期性),我们得到:

\begin{align}
\pi_0 KO &= \mathbf Z\\
\pi_1 KO &= \mathbf Z/2\\
\pi_2 KO &= \mathbf Z/2\\
\pi_3 KO &= 0\\
\pi_4 KO &= \mathbf Z\\
\pi_5 KO &= 0\\
\pi_6 KO &= 0\\
\pi_7 KO &= 0\\
\end{align}

同伦群的计算和解释[编辑]

低维群[编辑]

最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。

  • \pi_0(O) = \pi_0(O(1)) = \mathbf Z/2 保持/反 定向 (这个类存留到O(2) 从而稳定)

SO(3) = \mathbf{RP}^3 = S^3/(\mathbf Z/2) 得出:

  • \pi_1(O) = \pi_1(SO(3)) = \mathbf Z/2自旋群
  • \pi_2(O) = \pi_2(SO(3)) = 0,有到 \pi_2(SO(4)) 的满射,从而后一个群消失。
李群[编辑]

李群一般性事实,\pi_2 G 总消失,\pi_3 G自由阿贝尔群

向量丛[编辑]

从向量丛的观点来看,\pi_0(KO)S^0 上的向量丛,具有两个点。从而在每个点上,丛是平凡的,这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差, 所以

\pi_0(KO) = \mathbf Z维数
环路空间[编辑]

利用博特周期性中环路空间具体的描述,我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用 \pi_0O ,以及 O/U 有两个分支,KO = BO \times \mathbf ZKSp = BSp \times \mathbf Z\mathbf Z 个分支,其实是连通的。

同伦群的解释[编辑]

一小部分结论:[1]

F = \mathbf R, \mathbf C, \mathbf H, \mathbf O,以及 L_F 为射影线 \mathbf{FP}^1 上的重複线丛,[L_F] 是其 K-理论。注意到 \mathbf{RP}^1 = S^1, \mathbf{CP}^1 = S^2, \mathbf{HP}^1 = S^4, \mathbf{OP}^1 = S^8,这些得出相应球面上的向量丛,以及:

  • \pi_1(KO)[L_{\mathbf R}] 生成
  • \pi_2(KO)[L_{\mathbf C}] 生成
  • \pi_4(KO)[L_{\mathbf H}] 生成
  • \pi_8(KO)[L_{\mathbf O}] 生成

有限群上的正交群[编辑]

正交群也能定義在有限域  \mathbf{F}_q 上,這里 q 是一個質數 p 的冪。在這樣的域上定義正交群,偶數維時有兩類: O^+(2n, q)  O^-(2n, q) ;奇數維有一類: O(2n+1, q)

如果  V 是正交群  G 作用的向量空間,它可以寫成正交直和:

 V = L_1 \oplus L_2 \oplus \cdots \oplus L_m \oplus W

這里  L_i雙曲線 W 不包含奇異向量。如果  W = 0,那么  G 是正類型;若 W = 那么  G 有偶維數;若  W 有維數 2,則  G 是負類型。

n = 1 的特例,  O^\epsilon(2, q) 是階為 2(q - \epsilon)二面體群

當特征大于 2 時,記 O(n,q) = { A ∈ GL(n,q) : A·At=I }。關于這些群的階數我們有以下公式

|O(2n+1,q)|=2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).

如果 -1\mathbf{F}_q 中的平方元素

|O(2n,q)|=2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).
如果 -1 不是 \mathbf{F}_q 中的平方元素
|O(2n,q)|=2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).

迪克森不变量[编辑]

对偶数维正交群,迪克森不变量 是从正交群到 Z/2Z同态,是 0 或 1 取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于 2 的域上迪克森不变量和行列式等价:行列式等于 −1 的 迪克森不变量次幂。

在特征 2 的域上,行列式总为 1,所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征 2 域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为 0 的元素,而不是行列式为 1。

迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群Pin 群类似地定义。

特征 2 域上正交群[编辑]

特征 2 域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同:

  • 任何域上的任何正交群都是由反射生成,惟一的例外是兩個元素的域上的维特指标為 2 的 4 維向量空間(Grove 2002,Theorem 6.6 and 14.16)。注意特征 2 域上的反射定義稍不同。特征 2 域,垂直于一個向量 u 的反射將 v 映為 v+B(v,u)/Q(uu,這里 B 是一個雙線性形式,Q 是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换是將v 映到 v-2·B(v,u)/Q(uu,當奇特征和零特征時與比較兩者不同。
  • 特征 2 時正交群的中心總是 1 階,而不是 2 階。
  • 在特征 2 的奇維數 2n+1 時,完全域上的正交群和 2n 維辛群相同。事實上特征 2 時的辛形式時可交換的,而維數為奇數故總有一個 1 維的核,模去核的商是一個 2n 維辛空間,正交群作用在它上面。
  • 在特征 2 的偶維數,正交群是辛群的一個子群,因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。

旋量模[编辑]

旋量模是一個從域 F 上正交群到域 F乘法群模去平方元素

F*/F*2

的同態,将关于模长为 n 向量的反射映到 F*/F*2 中的 n

旋量模对实数域上的正交群是平凡的,但是其它域上常常不平凡,譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

伽罗瓦上同调和正交群[编辑]

代数群伽罗瓦上同调理论,引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值,特别是二次型理论的联系; 但就目前所发现的现象而言,大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式(张量)可以与伽罗瓦 H1 等同起来。作为一个代数群,正交群一般不是连通或单连通的;第二个观点是引入自旋现象,但前一个和判别式相联系。

一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群(更准确地pin 群)的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调(引入克利福德代数的术语)来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列

 1 \rightarrow \mu_2 \rightarrow Pin_V \rightarrow O_V \rightarrow 1

这里 μ2单位根的代数群;在一个特征非 2 的域上,粗略地看,和作用平凡的两元素群相同。

H0 (就是取值于 F 中点的群 OV(F) )到H12) 的连接同态本质上是 spinor 模,因为 H12) 同构于域模去平方元素的乘法群。

正交群的 H1 到自旋群覆叠的核的 H2 也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的,所以,至少用普通定义,这是我们能走得最远的。

重要子群[编辑]

物理中,特别是在 Kaluza-Klein 紧化领域,找出正交群的子群非常重要。主要结论如下:


O(n) \supset O(n-1)

O(2n) \supset SU(n)

O(2n) \supset USp(n)

O(7) \supset G_2

正交群 O(n) 也是一些李群的重要子群:


SU(n) \supset O(n)

USp(2n) \supset O(n)

G_2 \supset O(3)

F_4 \supset O(9)

E_6 \supset O(10)

E_7 \supset O(12)

E_8 \supset O(16)

群 O(10) 在超弦理论中非常重要,因为它是10维时空的对称群。

另见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]