半直积

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群论
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數學中,特別是叫做群論抽象代數領域中,半直積(semidirect product)是從其中一個是正規子群的兩個子群形成一個的特定方法。半直積是直積的推廣。半直積是作為集合的笛卡爾積,但帶有特定的乘法運算。

一些等价的定义[编辑]

G为群,NG的一个正规子群,并且HG的一个子群。下列命题等价:

  • G = NHNH = {e} (其中eG幺元)
  • G = HNNH = {e}
  • G的每个元素可以写作唯一的N的一个元素和H的一个元素的积
  • G的每个元素可以写作唯一的H的一个元素和N的一个元素的积
  • 自然的嵌入HG, 和自然的投影GG/N的复合,给出一个在HG/N之间的同构
  • 存在同态GH,它的像是H本身而其N

如果这些命题中的一个(从而所有)成立,则称G是一个NH半直积,或者说GN上“分裂(splits)”,并写作G = NH

基本事实和提醒[编辑]

G是正规子群N和子群H的半直积,而且NH都是有限的,则G等于NH的阶的积。

注意,和直积的情况不同,半直积通常不是唯一的;如果GG' 是两个群,都包含N为正规子群,并且都包含H为子群,而且二者都是NH的半直积,则未必 GG' 同构的。

外半直积[编辑]

G是一个NH的半直积,则映射φ : H → Aut(N) (其中Aut(N)表示N的所有自同构组成的群)(定义为φ(h)(n) = hnh–1 对于所有H中的hN中的n)是一个群同态。实际上N, H 和 φ 一起确定了G 最多相差一个同构,如下面所证。

给定任意两个群NH(不必是某个群的子群)和一个群同态φ : H → Aut(N),我们定义一个新群Nφ HNH相对于φ的半直积,如下: 基础的集合是集合直积 N × H,而群運算*给定为

(n1, h1) * (n2, h2) = (n1 φ(h1)(n2), h1 h2)

对于所有n1, N中的n2H中的h1, h2。这确实定义了一个群;其幺元为(eN, eH)而元素(n, h)的逆为(φ(h–1)(n–1), h–1). N × {eH}是同构于N的正规子群, {eN} × H是同构于H的子群,而该群是这两个子群在上面给出的意义下的半直积。

现在反过来假设我们有上述定义的内半直积,也就是说,一个群G有一个正规子群N,一个子群H,并且使得G的每个元素g 可以唯一的写成g=nh的形式,其中nN中而hH中。令φ : H→Aut(N)为如下同态

φ(h)(n)=hnh–1.

G同构于外半直积Nφ H; 该同构把乘积nh映到2元组(n,h)。在G中,我们有如下规则

(n1h1)(n2h2) = n1(h1n2h1–1)(h1h2)

而这是上述外半直积的定义的深层原因,也是一个记住它的方便办法。

群的分裂引理(splitting lemma)的一个版本称群G同构于两个群NH的半直积当且仅当存在短正合序列

 0\longrightarrow N \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!u}\ \, G \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!v}\ \,  H \longrightarrow 0

和一个群同态r : HG 使得v o r = idH, H上的恒等映射。在这种情况, φ : H → Aut(N)给出如下

φ(h)(n) = u–1(r(h)u(n)r(h–1)).

例子[编辑]

有 2n个元素的二面體群 Dn 同构于循环群CnC2的半直积。这里,C2的非单位元作用于Cn,将元素变成其逆;这是一个自同构因为Cn交换群

平面的刚体运动群(映射f : R2R2 使得xy之间的欧氏距离等于f(x) 和f(y)之间的距离对于所有在R2中的xy成立)同构于交换群R2 (描述平移)和正交 2×2矩阵的群O(2)(描述转动和反射)的半直积。每个正交矩阵通过矩阵乘法作用在R2上,并且是一个自同构

所有正交n×n矩阵的群O(n)(直观的讲,所有n维空间的所有转动和反射的集合)同构于群SO(n) (所有行列式值为1的正交矩阵,直观的讲n维空间的转动的集合)和C2的准直积。如果我们将C2表示为矩阵{I, R}的乘法群,其中Rn维空间的翻转(也就是行列式为-1的正交对角矩阵),则φ : C2 → Aut(SO(n)) 由φ(H)(N) = H N H–1对所有 在C2中的H 和SO(n)中的N给出.

与直积的关系[编辑]

假设G是一个正规子群N和子群H的半直积。若H也在G中正规,或者说,若存在一个同态GNN上的恒等映射,则GNH直积

两个群NH的直积可以视为NH相对于φ(h) = idN (对于所有H中的h)的外半直积。

注意在直积中,因子的次序不重要,因为N × H同构于H × N。这在半直积中不成立,因为两个因子的角色不同。

推广[编辑]

半直积的构造可以推得更广。在环理论中有一个版本,环的交叉积(crossed product of rings)。一旦构造了群的一个半直积的群环,这可以很自然的看出。还有李代数半直和。给定拓扑空间上的一个群作用,存在一个相应的交叉积,它通常非交换,即使群是可交换的。这样的环在群作用的轨道空间有重要作用,特别是当该空间不能用常规的拓扑技术处理的时候,例如在阿兰·孔涅的工作中(细节请参见非交换几何)。

范畴论中也有推广。它们表明了如何从“指标范畴(indexed categories)”构造“纤维范畴(fibred categories)”。这是外准直积的抽象形式。

参看[编辑]