分裂引理

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数学中,更准确地是同调代数中,分裂引理splitting lemma)说在任何阿贝尔范畴中,关于短正合序列的下列陈述是等价的。

给定一个具有映射qr 的短正合序列:

0 \rightarrow A \overset{q}{\longrightarrow} B \overset{r}{\longrightarrow} C \rightarrow 0

我们写出映射(可能不存在)的箭头tu

0 \rightarrow A {{q \atop \longrightarrow} \atop {\longleftarrow \atop t}} B {{r \atop \longrightarrow} \atop {\longleftarrow \atop u}} C \rightarrow 0

下列陈述是等价的:

1.左分裂:存在一个映射t
BA 使得tqA恒等
2.右分裂:存在一个映射u
CB 使得ruC 的恒等;
3.直和
B 同构于AC直和qA 的自然内射而r 是到C 的投影。

如果上述陈述成立,短正合序列成为分裂的。

这使我们可改进第一同构定理

  • 这一同构定理说在上述短正合序列中C \cong B/q(A)
  • 如果序列分裂则B \cong q(A) \oplus u(C) \cong A \oplus C,而第一同构定理恰是到C 的投影。

这是线性代数秩-零化度定理V \approx \ker T \oplus \operatorname{im}\,T的形式)的一个范畴推广。

证明[编辑]

首先证明 (3)蘊含 (1)与 (2)。我们假设 (3)成立,取t 为直和到A 的自然投影,取uC 到直和的自然内射。

为了证明 (1)蘊含 (3),首先注意到B 中任何元素属于集合 (ker t + im q)。这是因为对B 中任意bb = (b - qtb)) + qtb);qtb)显然属于im q,而 (b - qtb))属于ker t,因为

tb - qtb))= tb)- tqtb)= tb)- (tq)tb)= tb)- tb)= 0.

然后,im q 与ker t 的交集为{0},因若存在a 属于A 使得qa)= b 以及tb)= 0,则0 = tqa)= a;从而b = 0。

这就证明了B 是im q 与ker t 的直和。故对所有b 属于Bb 可以惟一地等同于某个a 属于Ak 属于ker t,使得b = qa)+ k

由正合性,ker rq = A,故ker r = im q。子序列BC → 0蘊涵着r 是映上的;从而对任意c 属于C 存在某个b = qa)+ k 使得c = rb)= r(qa)+ k) = rk)。故对任意c 属于C,存在k 属于ker t 使得c = rk),以及r(ker t)= C

如果rk)= 0,则k 属于im q;因im q 与ker t 的交集 = {0},则k = 0。从而同态r : ker tC 的限制是一个同构;且ker t 同构于C

最后im q 同构于A,因为0 → AB 的正合性;故B 同构于AC 的直和,这就证明了 (3)。

类似地可证明 (2)蕴含 (3)。B 中任何元素属于集合ker r + im u;因为对所有b 属于Bb = (b - urb)) + urb),这属于in ker r + im u。ker r 与im u 的交集是{0},因若rb)= 0以及uc)= b,则0 = ruc)= c

由正合性,im q = ker r,以及q 是一个内射,im q 同构于A,故A 同构于ker r。由于ru 是一个双射,u 是一个内射,故im u 同构于C。所以BAC 的直和。

非阿贝尔群[编辑]

这里所述的形式,分裂引理在全群范畴中不成立,它不是一个阿贝尔范畴。

部分真[编辑]

它是部分真的:如果一个群短正合序列是左分裂或是直和(条件1或3),则所有条件成立。对直和这是清楚的,因为直和给出的内射与投影。对一个左分裂序列,映射r \times t\colon B \to A \times C给出一个同构,故B 是一个直和(条件3),从而取此同构之逆并与自然内射C \to A \times C复合给出一个分裂t 的内射C \to B(条件2)。

但是如果一个短正合序列是右分裂的(条件2),则未必是左正合的或是直和(条件1或条件3均未必成立):问题是右分裂的像不必是正规的。在此情形B 是一个半直积,一般不是一个直积。

反例[编辑]

为了构造一个反例,取最小非阿贝尔群B\cong S_3,三个字母的对成群。设A 为交错子群,令C=B/A\cong\{\pm 1\}。令qr 分别表示包含映射与符号映射,从而

0 \rightarrow A \stackrel{q}{\longrightarrow} B \stackrel{r}{\longrightarrow} C \rightarrow 0

是一个短正合序列。条件 (3)部成立,因为S_3不是阿贝尔群。但条件 (2)成立:我们通过将生成元映到任意二阶循环定义u: CB。注意条件 (1)不成立:任何映射t: BA 必然将任何二阶循环映为单位,由拉格朗日定理。但每个置换是两个循环之乘积,故t 是平凡映射,从而tq: AA 是平凡映射,而不是恒等。

相关条目[编辑]