群作用

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給定一個等邊三角形,通過把所有頂點映射到另一個頂點,繞三角形中心逆時針 120°旋轉“作用”在這個三角形的頂點的集合上。

数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义[编辑]

\mathrm{G}为一个\mathrm{X}为一个集合,则\mathrm{G}\mathrm{X}上的一个(左) 群作用是一个二元函数

\mathrm{G} \times \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X}

(其中g \in \mathrm{G}x \in \mathrm{X}的像写作g \cdot x),满足如下两条公理:

  1. (g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x) 对于所有 g, h \in \mathrm{G}x \in \mathrm{X}成立
  2. e \cdot x = x对于每个x \in \mathrm{X}成立 (e代表\mathrm{G}么元)

从这两条公理,可以得出对于每个g \in \mathrm{G},映射x \in \mathrm{X}g \cdot x的函数是一个双射,从\mathrm{X}映射到\mathrm{X}。因此,也可以将\mathrm{G}\mathrm{X}上的群作用定义为从\mathrm{G}对称群S_{X}群同态

若群作用\mathrm{G} \times \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X}给定,我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合

完全一样地,可以定义一个GX上的右群作用为函数\mathrm{X} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{X},满足以下公理:

  1. x \cdot (g h) = (x \cdot g) \cdot h
  2. x \cdot e = x

注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g,而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用,只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用,则

l : G \times M \to M : (g, m) \mapsto r(m, g^{-1})

是一左作用,因为

l(gh, m) = r(m, (gh)^{-1}) = r(m, h^{-1}g^{-1}) = r(r(m, h^{-1}), g^{-1}) = r(l(h, m), g^{-1}) = l(g, l(h, m))\,

l(e, m) = r(m, e^{-1}) = r(m, e) = m\,

所以在这里,我们只考虑左群作用,因为右作用可以相应推理。