群作用

給定一個等邊三角形，通過把所有頂點映射到另一個頂點，繞三角形中心逆時針 120°旋轉“作用”在這個三角形的頂點的集合上。

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

定义

若$\mathrm{G}$为一个群而$\mathrm{X}$为一个集合，则$\mathrm{G}$在$\mathrm{X}$上的一个(左) 群作用是一个二元函数

$\mathrm{G} \times \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X}$

(其中$g \in \mathrm{G}$和$x \in \mathrm{X}$的像写作$g \cdot x$)，满足如下两条公理：

1. $(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ 对于所有 $g, h \in \mathrm{G}$ 和 $x \in \mathrm{X}$成立
2. $e \cdot x = x$对于每个$x \in \mathrm{X}$成立 ($e$代表$\mathrm{G}$的么元)

从这两条公理，可以得出对于每个$g \in \mathrm{G}$，映射$x \in \mathrm{X}$到$g \cdot x$的函数是一个双射，从$\mathrm{X}$映射到$\mathrm{X}$。因此，也可以将$\mathrm{G}$在$\mathrm{X}$上的群作用定义为从$\mathrm{G}$到对称群$S_{X}$的群同态。

若群作用$\mathrm{G} \times \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X}$给定，我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。

完全一样地，可以定义一个G在X上的右群作用为函数$\mathrm{X} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{X}$，满足以下公理：

1. $x \cdot (g h) = (x \cdot g) \cdot h$
2. $x \cdot e = x$

注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g，而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用，则

$l : G \times M \to M : (g, m) \mapsto r(m, g^{-1})$

是一左作用，因为

$l(gh, m) = r(m, (gh)^{-1}) = r(m, h^{-1}g^{-1}) = r(r(m, h^{-1}), g^{-1}) = r(l(h, m), g^{-1}) = l(g, l(h, m))\,$

而

$l(e, m) = r(m, e^{-1}) = r(m, e) = m\,$

所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。