整环

整环（Integral domain），又譯作整域，是抽象代數中的一个概念，指含乘法单位元的无零因子的交换环。一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0，以除去平凡的环$\{0\}$。整环是整数环的抽象化，它很好地继承了整数环的整除性质，使得我们能够更好地研究整除理论。

整环也可以定义为理想$\{0\}$是素理想的交换环，或交换的无零因子环。

形式定义

设$\left( \mathcal{R}, + , \times \right)$是一个交换环，存在$e \in \mathcal{R}$，$e \neq 0$（0为加法单位元），使得

$\forall a \in \mathcal{R}, a \times e = e \times a = a,$（存在乘法单位元）

并且对任意的$a , b \in \mathcal{R}$，如果$a \times b = 0$，那么或者$a = 0$，或者$b = 0$。用数学方式表示为：

$\forall (a, b) \in \mathcal{R}^2,\ a\times b = 0 \quad \Rightarrow \quad (a=0\; \; \or \; \; b=0) .$（没有零因子）

就称其为整环。

定义中的无零因子性质也可以用环中乘法的消去率替代：如果$a \times c = b \times c$，并且$c \neq 0$，那么$a = b$。用数学方法表示就是：

$\forall (a, b, c) \in \mathcal{R}^2,\ (a \times c = b \times c \; \; \and \; \; c \neq 0 ) \quad \Rightarrow \quad a=b.$

例子

• 整环的代表性例子是整数环$\mathbb{Z}$。$(\mathbb{Z}, + , \times )$是一个交换环，并且乘法单位元1不等于加法单位0。最后，两个整数相乘等于0，则必然有其中一个等于0。
• 多项式环是整环当且仅当其系数构成整环。比如整系数一元多项式环$\mathbb{Z}[X]$和实系数二元多项式环$\mathbb{R}[X, Y]$。
• 每个域都是整环。相对的，每个阿廷整环都是域。特别地，每个有限的整环都是有限域。整数环$\mathbb{Z}$就是一个非阿廷整环不是域的例子，因为它有无穷递降的理想列：

$\mathbb{Z}\;\supset\;2\mathbb{Z}\;\supset\;\ldots\;\supset\;2^n\mathbb{Z}\;\supset\;2^{n+1}\mathbb{Z}\;\supset\;\cdots$

• 对每个整数$n>0$，$\mathbb{Z}+\sqrt{n}\mathbb{Z}$是实数域$\mathbb{R}$的子环，因此是整环。$\mathbb{Z}+i\sqrt{n}\mathbb{Z}$是复数域$\mathbb{C}$的子环，因此是整环。当$n=1$时，后者被称为高斯整数环。
• 若$\mathcal{R}$是一个交换环，$P$是$\mathcal{R}$的一个理想，那么商环$^{\mathcal{R}} / _P$是整环当且仅当P是素理想。由此可推出$\mathcal{R}$是整环当且仅当$\{0\} = ^{\mathcal{R}} / _{\mathcal{R}}$是素理想。

整除、素元、既约元

在整环上可以定义类似于整数环里的整除性质。

a 与 b 是R中的两个元素，定义a整除b或a是b的约数或b是a的倍数，当且仅当存在R中的一个元素x使得ax = b。

整除关系满足传递性，即 a整除b，b整除c推出a整除c。 a整除b，则a 整除b的所有倍数。a的两个倍数的和与差仍是a的倍数。

1的约数称为R的可逆元。可逆元整除所有元素。

若a整除b并且b整除a，则称a与b相伴。 a与b相伴当且仅当存在可逆元u 使得au = b。

非可逆元q称为既约元，如果q不能写成两个非可逆元的乘积。

如果p不是零元或可逆元，且对任意a，b，如果p整除ab可推出p整除a或p整除b，则称p为素元。

这两个定义是整数环中素数的推广。如果p是素元，那么p生成的主理想是素理想。每个素元都是既约元，但反过来则只有当R是唯一分解环才正确。