整环

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整环(Integral domain),又譯作整域,是抽象代數中的一个概念,指含乘法单位元的无零因子交换环。一般假设环中乘法单位元1不等于加法单位元0,以除去平凡的环\{0\}。整环是整数环的抽象化,它很好地继承了整数环的整除性质,使得我们能够更好地研究整除理论。

整环也可以定义为理想\{0\}是素理想的交换环,或交换的无零因子环。

形式定义[编辑]

\left( \mathcal{R}, + , \times \right)是一个交换环,存在e \in \mathcal{R}e \neq 0(0为加法单位元),使得

\forall a \in \mathcal{R}, a \times e = e \times a = a,(存在乘法单位元)

并且对任意的a , b \in \mathcal{R},如果a \times b = 0,那么或者a = 0,或者b = 0。用数学方式表示为:

\forall (a, b) \in \mathcal{R}^2,\  a\times b = 0 \quad \Rightarrow \quad (a=0\; \; \or \; \; b=0) .(没有零因子)

就称其为整环[1]:19

定义中的无零因子性质也可以用环中乘法的消去律替代:如果a \times c = b \times c,并且c \neq 0,那么a = b[2]:119。用数学方法表示就是:

\forall (a, b, c) \in \mathcal{R}^2,\  (a \times c = b \times c \; \; \and \; \; c \neq 0 ) \quad \Rightarrow \quad a=b.

例子[编辑]

  • 整环的代表性例子是整数环\mathbb{Z}(\mathbb{Z}, + , \times )是一个交换环,并且乘法单位元1不等于加法单位0。最后,两个整数相乘等于0,则必然有其中一个等于0。
  • 多项式环是整环当且仅当其系数构成整环。比如整系数一元多项式环\mathbb{Z}[X]和实系数二元多项式环\mathbb{R}[X, Y]
  • 每个都是整环[2]:122。相对的,每个阿廷整环都是域。特别地,每个有限的整环都是有限域。整数环\mathbb{Z}就是一个非阿廷整环不是域的例子,因为它有无穷递降的理想列:
\mathbb{Z}\;\supset\;2\mathbb{Z}\;\supset\;\ldots\;\supset\;2^n\mathbb{Z}\;\supset\;2^{n+1}\mathbb{Z}\;\supset\;\cdots
  • 对每个整数n>0\mathbb{Z}+\sqrt{n}\mathbb{Z}是实数域\mathbb{R} 的子环,因此是整环。\mathbb{Z}+i\sqrt{n}\mathbb{Z}是复数域\mathbb{C} 的子环,因此是整环。当n=1时,后者被称为高斯整数环
  • \mathcal{R}是一个交换环,P\mathcal{R}的一个理想,那么商环^{\mathcal{R}} / _P 是整环当且仅当P素理想。由此可推出\mathcal{R}是整环当且仅当\{0\} = ^{\mathcal{R}} / _{\mathcal{R}} 素理想

整除、素元、既约元[编辑]

在整环上可以定义类似于整数环里的整除性质。

abR中的两个元素,定义a整除bab的约数或ba倍数,当且仅当存在R中的一个元素x使得ax = b

整除关系满足传递性,即 a整除bb整除c推出a整除ca整除b,则a 整除b的所有倍数。a的两个倍数的和与差仍是a的倍数。

1的约数称为R可逆元。可逆元整除所有元素。

a整除b并且b整除a,则称ab相伴ab相伴当且仅当存在可逆元u 使得au = b

非可逆元q称为既约元,如果q不能写成两个非可逆元的乘积。

如果p不是零元或可逆元,且对任意a,b,如果p整除ab可推出p整除ap整除b,则称p素元

这两个定义是整数环中素数的推广。如果p是素元,那么p生成的主理想是素理想。每个素元都是既约元,但反过来则只有当R唯一分解环才正确。

参考资料[编辑]

  1. ^ (法文)Jean Fresnel. Anneaux. Hermann. 2001. ISBN 2 7056 1447 8. 
  2. ^ 2.0 2.1 (英文)Joseph J. Rotman. Advanced Modern Algebra. American Mathematical Society. 2010年8月. ISBN 978-0821847411.