零因子

在抽象代数中，一个环的一个非零元素a是一个左零因子，当且仅当存在一个非零元素b，使得ab=0。类似的，一个非零元素a是一个右零因子，当且仅当存在一个非零元素b，使得ba=0。一个既是左零因子又是右零因子的元素称为零因子(Zero Divisor)。在交换环中，左零因子与右零因子是等价的。一个既不是左零因子也不是右零因子的非零元素称为正则的。

例子

• 整数环Z没有零因子，但是在环Z × Z 中，有(0,ｎ) × (ｍ,0) = (0,0)，于是(0,ｎ)和(ｍ,0)都是零因子。

• 在商环 Z/6Z中，同余类4，就是4 + 6Z，是一个零因子，因为3 × 4便是同余类0。

• 在方矩阵组成的环中，不可逆矩阵都是零因子。例如：

$\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$

因为

$\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$　$\cdot$$\begin{pmatrix}1&1\\ -1&-1\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}-2&1\\ -2&1\end{pmatrix}$$\cdot$　$\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$　$=$　$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

• 　更一般地说，在某些域上的ｎ×ｎ的矩阵组成的环中，左零因子也就是右零因子（实际上就是所有的非零的奇异矩阵）。在某些整环上的ｎ×ｎ的矩阵组成的环中，零因子就是所有行列式为0的非零矩阵。

• 下面给出一个环中的左零因子和右零因子的例子，它们都不是零因子。

• 令S为所有整数数列的集合，则S到S的映射，对于数列的加法和映射的复合，成为一个环End(S),。
• 考虑以下三个映射：右移映射：R(a₁, a₂,a₃,...) = (0, a₁, a₂,...)， 左移映射：L(a₁, a₂,a₃,... ) = (a₂, a₃,...)，以及只保留首项的映射： T(a₁, a₂,a₃,... ) = (a₁, 0, 0, ... )
• 　LT　＝　TR　＝　0，所以L是一个左零因子，R是一个右零因子。但是L不是右零因子，R也不是左零因子。因为LR便是恒等映射。也就是说，如果有一个映射f使得fL= 0，那么0＝(fL)R = f(LR)= f1 = f，f必然是0，于是L不可能是右零因子。同理，R也不可能是左零因子。
• 实际上，我们可以将S到S的映射看作可数阶数的矩阵，于是左移映射L就可以表示为：

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &0&0&\\ 0 & 0 & 1 &0&0&\cdots\\ 0 & 0 & 0 &1&0&\\ 0&0&0&0&1&\\ &&\vdots&&&\ddots \end{pmatrix}$

• 同理R则是L的转置矩阵（同时也是L的逆矩阵）。可以看出这个例子在有限阶矩阵中是无法构造的。

性质

• 左零因子或右零因子不可能是可逆元。

• 任意的非零的等幂元a ≠ 1都是零因子，因为由a² = a可推出a(a − 1) = (a − 1)a = 0。此外，幂零元是当然的零因子。

• 一个非退化的交换环（0 ≠ 1）若没有零因子，则是一个整环。

• 商环Z/nZ包含零因子，当且仅当n是合数。如果n是素数，Z/nZ是一个域，因而没有零因子，因为每个元素都是可逆的。

• 在Cayley-Dickson构造下的十六元数中，也包含了零因子。

参见

• 环
• 整环