零因子

维基百科,自由的百科全书

跳转到: 导航, 搜索

抽象代数中,一个的一个非零元素a是一个左零因子,当且仅当存在一个非零元素b,使得ab=0。类似的,一个非零元素a是一个右零因子,当且仅当存在一个非零元素b,使得ba=0。一个既是左零因子又是右零因子的元素称为零因子。在交换环中,左零因子与右零因子是等价的。一个既不是左零因子也不是右零因子的非零元素称为正则


[编辑] 例子

  • 整数Z没有零因子,但是在环Z × Z 中,有(0,n) × (m,0) = (0,0),于是(0,n)和(m,0)都是零因子。
  • 商环 Z/6Z中,同余类4,就是4 + 6Z,是一个零因子,因为 3 × 4 便是同余类0 。
  • 在2×2的矩阵组成的环中,一个零因子的例子是矩阵:
\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}
因为
\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1&1\\
-1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix2&1\\
-2&1\end{pmatrix}}-\cdot \begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
  •  更一般地说,在某些域上的n×n的矩阵组成的环中,左零因子也就是右零因子(实际上就是所有的非零的奇异矩阵)。在某些整环上的n×n的矩阵组成的环中,零因子就是所有行列式为0的非零矩阵。
  • 下面给出一个环中的左零因子和右零因子的例子,它们都不是零因子。
  • S为所有整数数列的集合,则SS的映射,对于数列的加法和映射的复合,成为一个环End(S),。
  • 考虑以下三个映射:右移映射:R(a1, a2,a3,...) = (0, a1, a2,...), 左移映射:L(a1, a2,a3,... ) = (a2, a3,...),以及只保留首项的映射: T(a1, a2,a3,... ) = (a1, 0, 0, ... )
  •  LT = TR = 0,所以L是一个左零因子,R是一个右零因子。但是L不是右零因子,R也不是左零因子。因为LR便是恒等映射。也就是说,如果有一个映射f使得fL= 0,那么0=(fL)R = f(LR) = f1 = ff必然是0,于是L不可能是右零因子。同理,R也不可能是左零因子。
  • 实际上,我们可以将SS的映射看作可数阶数的矩阵,于是左移映射L就可以表示为:
A = \begin{pmatrix}
0      & 1 & 0      &0&0&\\
0 & 0 & 1 &0&0&\cdots\\
0 & 0 & 0 &1&0&\\
0&0&0&0&1&\\
&&\vdots&&&\ddots
\end{pmatrix}
  • 同理R则是L的转置矩阵(同时也是L的逆矩阵)。可以看出这个例子在有限阶矩阵中是无法构造的。

[编辑] 性质

  • 左零因子或右零因子不可能是可逆元
  • 任意的非零的等幂元a ≠ 1都是零因子,因为由a2 = a可推出a(a − 1) = (a − 1)a = 0。此外,幂零元是当然的零因子。
  • 一个非退化的交换环(0 ≠ 1)若没有零因子,则是一个整环
  • 商环Z/nZ包含零因子,当且仅当n合数。如果n素数Z/nZ是一个域,因而没有零因子,因为每个元素都是可逆的。


[编辑] 参见


抽象代数相关主题
代数系统 | | 半群 | 幺半群 | | | 伽罗瓦域 | 本原元 | | 逆元素 | 等价关系 | 同构基本定理 | 合成列 | 自由對象
群论子群 | | 阿贝尔群 | 循環群 | 有限群 | 李群 | 中心 | 陪集 | 正规子群 | 拉格朗日定理 | 幂零群 | 商群 | 双陪集 | 共轭类 | 群表示 | 群作用 | 交換子 | 中心化子和正规化子 | 交换子群 | 可解群 | p-群 | 对称群 | 西羅定理 | 稳定子群 | 單群 | 半单群 | 典型群 | 自由群
环论整环 | 除环 | 多项式环 | 环的理想 | | 幂零元 | 特征 | 主理想环 | 唯一分解环 | 素环 | 商环 | 自由模 | 平坦模 | 諾特環 | 完備化 | 阿廷模 | 諾特模 | 局部化 | 深度 (模論) | 局部環 | 賦值環 | 交換環上的代數 | 單模
域论域扩张 | 有限域 | 原根 | 有限扩张 | 超越扩张 | 代数闭域 | 局部域 | 分式環 | 单扩张 | 代数扩张| 分裂域| 正规扩张 | 可分扩张 | 伽罗瓦扩张 | 阿贝尔扩张
同态 | 同构 | 商结构(商系统)
个人工具