零因子

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在抽象代数中，一个环的一个非零元素a是一个左零因子，当且仅当存在一个非零元素b，使得ab=0。类似的，一个非零元素a是一个右零因子，当且仅当存在一个非零元素b，使得ba=0。一个既是左零因子又是右零因子的元素称为零因子。在交换环中，左零因子与右零因子是等价的。一个既不是左零因子也不是右零因子的非零元素称为正则的。

[编辑] 例子

整数环Z没有零因子，但是在环Z × Z 中，有(0,ｎ) × (ｍ,0) = (0,0)，于是(0,ｎ)和(ｍ,0)都是零因子。

在商环 Z/6Z中，同余类4，就是4 + 6Z，是一个零因子，因为 3 × 4 便是同余类0 。

在２×２的矩阵组成的环中，一个零因子的例子是矩阵：

$\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$

因为

$\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}$ 　 $\cdot$ $\begin{pmatrix}1&1\\ -1&-1\end{pmatrix}$

=

$\begin{pmatrix2&1\\ -2&1\end{pmatrix}$ }- $\cdot$ 　 $\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$ 　

=

　 $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

　更一般地说，在某些域上的ｎ×ｎ的矩阵组成的环中，左零因子也就是右零因子（实际上就是所有的非零的奇异矩阵）。在某些整环上的ｎ×ｎ的矩阵组成的环中，零因子就是所有行列式为０的非零矩阵。

下面给出一个环中的左零因子和右零因子的例子，它们都不是零因子。

令S为所有整数数列的集合，则S到S的映射，对于数列的加法和映射的复合，成为一个环End(S),。
考虑以下三个映射：右移映射：R(a₁, a₂,a₃,...) = (0, a₁, a₂,...)，左移映射：L(a₁, a₂,a₃,... ) = (a₂, a₃,...)，以及只保留首项的映射： T(a₁, a₂,a₃,... ) = (a₁, 0, 0, ... )
　LT　＝　TR　＝　０，所以L是一个左零因子，R是一个右零因子。但是L不是右零因子，R也不是左零因子。因为LR便是恒等映射。也就是说，如果有一个映射f使得fL= 0，那么０＝(fL)R = f(LR) = f1 = f，f必然是０，于是L不可能是右零因子。同理，R也不可能是左零因子。
实际上，我们可以将S到S的映射看作可数阶数的矩阵，于是左移映射L就可以表示为：