零因子

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抽象代数中,一个环的一个非零元素a是一个左零因子,当且仅当存在一个非零元素b,使得ab=0。类似的,一个非零元素a是一个右零因子,当且仅当存在一个非零元素b,使得ba=0。一个既是左零因子又是右零因子的元素称为零因子(Zero Divisor)。在交换环中,左零因子与右零因子是等价的。一个既不是左零因子也不是右零因子的非零元素称为正则

例子[编辑]

  • 整数Z没有零因子,但是在环Z × Z 中,有(0,n) × (m,0) = (0,0),于是(0,n)和(m,0)都是零因子。
  • 商环 Z/6Z中,同余类4,就是4 + 6Z,是一个零因子,因为3 × 4便是同余类0。
  • 在方矩阵组成的环中,不可逆矩阵都是零因子。例如:
\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}
因为
\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1&1\\
-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\
-2&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
  •  更一般地说,在某些域上的n×n的矩阵组成的环中,左零因子也就是右零因子(实际上就是所有的非零的奇异矩阵)。在某些整环上的n×n的矩阵组成的环中,零因子就是所有行列式为0的非零矩阵。
  • 下面给出一个环中的左零因子和右零因子的例子,它们都不是零因子。
  • S为所有整数数列的集合,则SS的映射,对于数列的加法和映射的复合,成为一个环End(S),。
  • 考虑以下三个映射:右移映射:R(a1, a2,a3,...) = (0, a1, a2,...), 左移映射:L(a1, a2,a3,... ) = (a2, a3,...),以及只保留首项的映射: T(a1, a2,a3,... ) = (a1, 0, 0, ... )
  •  LT = TR = 0,所以L是一个左零因子,R是一个右零因子。但是L不是右零因子,R也不是左零因子。因为LR便是恒等映射。也就是说,如果有一个映射f使得fL= 0,那么0=(fL)R = f(LR)= f1 = ff必然是0,于是L不可能是右零因子。同理,R也不可能是左零因子。
  • 实际上,我们可以将SS的映射看作可数阶数的矩阵,于是左移映射L就可以表示为:
A = \begin{pmatrix}
0      & 1 & 0      &0&0&\\
0 & 0 & 1 &0&0&\cdots\\
0 & 0 & 0 &1&0&\\
0&0&0&0&1&\\
&&\vdots&&&\ddots
\end{pmatrix}
  • 同理R则是L的转置矩阵(同时也是L的逆矩阵)。可以看出这个例子在有限阶矩阵中是无法构造的。

性质[编辑]

  • 左零因子或右零因子不可能是可逆元
  • 任意的非零的等幂元a ≠ 1都是零因子,因为由a2 = a可推出a(a − 1) = (a − 1)a = 0。此外,幂零元是当然的零因子。
  • 一个非退化的交换环(0 ≠ 1)若没有零因子,则是一个整环
  • 商环Z/nZ包含零因子,当且仅当n合数。如果n素数Z/nZ是一个域,因而没有零因子,因为每个元素都是可逆的。

参见[编辑]