局部環

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數學中,局部環是只有一個極大理想的交換含么

局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入,稱之為 Stellenringe,英譯 local ring 源自扎裡斯基

定義[编辑]

R 為交換含么環。若 R 僅有一個極大理想 \mathfrak{m},則稱 R(或 (R,\mathfrak{m}))為局部環。域 R/\mathfrak{m} 稱為 R剩餘域

R 中僅有有限個極大理想,則稱之為半局部環

一個局部環 (R, \mathfrak{m}) 上帶有一個自然的 \mathfrak{m}-進拓撲,使得 R 成為拓撲環;其開集由 \{ \mathfrak{m}^i : i \geq 0 \} 生成。當 R諾特環時,可證明 R 為豪斯多夫空間,且所有理想皆是閉理想。

(R, \mathfrak{m}), (S, \mathfrak{n}) 為局部環,環同態 \phi: R \rightarrow S 被稱為局部同態,若且唯若 \mathfrak{m} = \phi^{-1}(\mathfrak{n})

例子[编辑]

  • 是局部環。
  • 形式冪級數環 k[[X_1, \ldots, X_n]] 是局部環,其中 k 是個域。極大理想是 (X_1, \ldots, X_n)
  • 取係數在\mathbb{R}\mathbb{C} 上,原點附近收斂半徑為正的冪級數,它構成一個局部環,極大理想表法同上。
  • 賦值環皆為局部環。
  • R 為任意交換環, \mathfrak{p} 為素理想,則相應的局部化 (R_\mathfrak{p}, \mathfrak{p}R_\mathfrak{p}) 是局部環;這也是局部環應用的主要場合。若 (R, \mathfrak{p}) 已是局部環,則 R \stackrel{\sim}{\rightarrow} R_\mathfrak{p}
  • 局部環的商環仍是局部環。

動機與幾何詮釋[编辑]

局部環意在描述一個點附近的函數「芽」。設 X 為拓撲空間,F := \mathbb{R}\mathbb{C},且x \in X。考慮所有資料 (f,U),其中 Ux 的一個開鄰域,而 f: U \rightarrow F 是連續函數。引入等價關係:

(f,U) \sim (g, V) \iff \exists W \subset U \cap V, \; f|_W = g|_WWx 的開鄰域。

換言之,若兩個函數在 x 附近一致,則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環 \Gamma_x,其元素稱作在 x連續函數芽,它體現了連續函數在 x 附近的行為。若 s \in \Gamma_x 滿足 s(x) \neq 0 ,則存在一個 x 的開鄰域 U 及連續函數 f: U \rightarrow F,使得 [f, U] = sf 恆非零,因此可定義乘法逆元 1/s := [1/f, U]。於是 \Gamma_x 是局部環,其唯一的極大理想是所有在 x 點取零的函數,剩餘域則是 F

類似想法可施於微分流形解析流形複流形,稍作修改後亦可推廣至代數簇概形

在代數幾何與複幾何中,假設適當的有限性條件(例如凝聚性), 若一陳述對某一點的芽成立,則在該點的某個開鄰域上皆成立;就此而論,局部環集中表現了一點附近的局部性質

交換代數中,局部化的技術往往可將問題化約到局部環上;因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。

非交換的情形[编辑]

一個含么環 R 被稱作局部環,若且唯若它滿足下述等價條件:

  • R 僅有一個極大左理想。
  • R 僅有一個極大右理想。
  • 1 \neq 0 \in R,且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元。
  • 1 \neq 0 \in R,且對任何元素 xx1-x 必有一者可逆。
  • 1 \neq 0 \in R,若 R 中某個有限和是可逆元,則其中某項必可逆。

當上述任一性質成立,則下述三者等同:

  • R 的唯一極大左理想
  • R 的唯一極大右理想
  • R 的 Jacobson根

對於交換環,上述定義化為交換局部環的原始定義。

文獻[编辑]