本原元定理

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数学中,本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/FE可以表示为F(\alpha)的形式,即E可以由单个元素生成。

定理[编辑]

一个有限扩张E/F有本原元,即存在\alpha使得E=F(\alpha),当且仅当EF之间只有有限个中间域。

证明[编辑]

如果F有限域,由于E/F有限扩张,推得E也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群,任取这个乘法群的一个生成元,E可以由这个生成元生成。所以在F是有限域的情况下,定理左右两边恒为真。

如果F是无限域,但是只有有限个中间域。 先证明一个引理:假设E=F(\alpha,\beta)并且EF之间只有有限个中间域,那么存在一个\gamma\in E使得E=F(\gamma)。引理的证明如下:当c取遍F的时候,对于每一个c可以做一个中间域F(\alpha+c\beta)。但是由假设,只有有限个中间域,因此必定存在c_1,c_2\in F,c_1\neq c_2使得F(\alpha+c_1\beta)=F(\alpha+c_2\beta)。由于\alpha+c_1\beta,\alpha+c_2\beta都在这个域里,推得(c_1-c_2)\beta也在这个域里。由于c_1\neq c_2,推得\beta在这个域里,于是\alpha也在这个域里,因此E=F(\alpha,\beta)\subseteq F(\alpha+c_1\beta)\subseteq F(\alpha,\beta),于是E=F(\alpha+c_1\beta)。引理证毕。

由于有限扩张总是有限生成的,推得E=F(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)(对于\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\in E)。利用归纳法以及引理可以得出,如果E/F之间只有有限个中间域,那么E可以由单个元素生成。

而如果E=F(\alpha),假设f(x)=irr(\alpha,F,x)\alphaF上的极小多项式K是任意一个中间域,g_K(x)=irr(\alpha,K,x)\alphaK上的极小多项式。显然g_K(x)|f(x)。由于域上的多项式环唯一分解环f(x)只有有限个因子。而对于每一个g_K(x)|f(x),如果g_K(x)写作g_K(x)=\sum_{k=0}^n c_ix^i,并令K_0=F(c_1,c_2,...,c_n)。显然K_0K的一个子域,因此g_K(x)K_0上依然是不可约的。而同时E=F(\alpha)=K(\alpha)=K_0(\alpha),因此可以得到[E:K]=[E:K_0]=\frac{[E:F]}{deg(g_K)}=\frac{[E:F]}{n}。这样立即推K_0=K,于是任何一个中间域K对应唯一的一个f(x)的因子g_K。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的,因此中间域个数有限。证毕。

推论[编辑]

  • 由于有限可分扩张只有有限个中间域,由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元

参见[编辑]

参考文献[编辑]