伽罗瓦群

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数学中,伽罗瓦群Groupe de Galois)是与某个类型的域扩张相伴的。域扩张源于多项式,通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式称为伽罗瓦理论,以发现者法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦命名。

置换群更初等地讨论伽罗瓦群,参见伽罗瓦理论一文。

定义[编辑]

假设 E F 的一个扩张(写成 E/F,读做 EF 上,英语:E over F)。考虑所有 E/F自同构集合(即同构 α 从 E 到自身使得 α(x) = x 对所有 x 属于 F)。这个自同构集合以函数复合作为运算组成一个群,有时记做 Aut(E/F)。

如果 E/F 是一个伽罗瓦扩张,则 Aut(E/F) 称为(扩张)EF 上的伽罗瓦群,通常记做 Gal(E/F)。

例子[编辑]

以下诸例中 F 是一个域,CRQ 分别为复数实数有理数域。记号 F(a) 表示通过添加一个元素 a 到域 F 中得到的域扩张

  • Gal(F/F) 是一个元素的平凡群,即恒同自同构。
  • Gal(C/R) 有两个元素,恒同自同构与复共轭自同构。
  • Aut(R/Q) 平凡。事实上可以证明任何 Q-自同构一定保持实数的顺序,从而必然是恒同。
  • Aut(C/Q) 是一个无限群。
  • Gal(Q(√2)/Q) 有两个元素,恒同自同构与将 √2 和 −√2 互换的自同构。
  • 考虑域 K = Q(³√2)。群 Aut(K/Q) 只包含恒同自同构。因为 K 不是正规扩张,这是因为其它两个三次根(都是复数)不在扩张中——换句话说 K 不是一个分裂域
  • 现在考虑 L = Q(³√2, ω),这里 ω 是本原三次单位根。群 Gal(L/Q) 同构于6阶二面体群 S3,事实上 Lx3 − 2 在 Q 上的分裂域。

基本性质[编辑]

以下的性质均可以在没有伽罗瓦理论基本定理的情况下证明。

  • |Gal(E/F)|=[E:F]
  • G=Gal(E/F),则 G的不变域,即 E^G=\{x\in E|\forall\sigma\in G,\sigma(x)=x\},是 F
  • 假设 K/k 是一个伽罗瓦扩张F 是一个域并且 KF 存在。那么 Gal(KF/F)\hookrightarrow Gal(K/k),即 Gal(KF/F)Gal(K/k) 的一个子群同构。(由正规扩张可分扩张的性质,KF/F 是一个伽罗瓦扩张,因此可以讨论 Gal(KF/F)

事实[编辑]

一个扩张是伽罗瓦型的重要性是因为它满足伽罗瓦理论基本定理fundamental theorem of Galois theory:伽罗瓦群的子群对应于这个域扩张的中间扩张。

如果 E/F 是伽罗瓦扩张,则 Gal(E/F) 能给出一个拓扑,称为克鲁尔拓扑Krull topology),使其成为一个投射有限群profinite group)。

外部链接[编辑]