伽罗瓦群

数学中，伽罗瓦群（Groupe de Galois）是与某个类型的域扩张相伴的群。域扩张源于多项式，通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式称为伽罗瓦理论，以发现者法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦命名。

用置换群更初等地讨论伽罗瓦群，参见伽罗瓦理论一文。

定义

假设 E 是域 F 的一个扩张（写成 E/F，读做 E 在 F 上，英语：E over F）。考虑所有 E/F 的自同构集合（即同构 α 从 E 到自身使得 α(x) = x 对所有 x 属于 F）。这个自同构集合与函数复合一起组成一个群，有时记做 Aut(E/F)。

如果 E/F 是一个伽罗瓦扩张，则 Aut(E/F) 称为（扩张）E 在 F 上的伽罗瓦群，通常记做 Gal(E/F)。

例子

以下诸例中 F 是一个域，C、R、Q 分别为复数、实数与有理数域。记号 F(a) 表示通过添加一个元素 a 到域 F 中得到的域扩张。

• Gal(F/F) 是一个元素的平凡群，即恒同自同构。
• Gal(C/R) 有两个元素，恒同自同构与复共轭自同构。
• Aut(R/Q) 平凡。事实上可以证明任何 Q-自同构一定保持实数的顺序，从而必然是恒同。
• Aut(C/Q) 是一个无限群。
• Gal(Q(√2)/Q) 有两个元素，恒同自同构与将 √2 和 −√2 互换的自同构。
• 考虑域 K = Q(³√2)。群 Aut(K/Q) 只包含恒同自同构。因为 K 不是正规扩张，这是因为其它两个三次根（都是复数）不在扩张中——换句话说 K 不是一个分裂域。
• 现在考虑 L = Q(³√2, ω)，这里 ω 是本原三次单位根。群 Gal(L/Q) 同构于6阶二面体群 S₃，事实上 L是 x³ − 2 在 Q 上的分裂域。

基本性质

以下的性质均可以在没有伽罗瓦理论基本定理的情况下证明。

• $|Gal(E/F)|=[E:F]$
• 令 $G=Gal(E/F)$，则 G的不变域，即 $E^G=\{x\in E|\forall\sigma\in G,\sigma(x)=x\}$，是 F。
• 假设 K/k 是一个伽罗瓦扩张，F 是一个域并且 KF 存在。那么 $Gal(KF/F)\hookrightarrow Gal(K/k)$，即 $Gal(KF/F)$ 和 $Gal(K/k)$ 的一个子群同构。（由正规扩张和可分扩张的性质，KF/F 是一个伽罗瓦扩张，因此可以讨论 $Gal(KF/F)$）

事实

一个扩张是伽罗瓦型的重要性是因为它满足伽罗瓦理论基本定理（fundamental theorem of Galois theory：伽罗瓦群的子群对应于这个域扩张的中间扩张。

如果 E/F 是伽罗瓦扩张，则 Gal(E/F) 能给出一个拓扑，称为克鲁尔拓扑（Krull topology），使其成为一个投射有限群（profinite group）。

外部链接

• Galois Groups at MathPages