加法單位元

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數學裡,一個具有加法運算集合中的加法單位元,是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x元素

基本例子[编辑]

如:

5 + 0 = 5 = 0 + 5.
n + 0 = n = 0 + n.

形式定義[编辑]

N是一個在加法運算下封閉的集合N的加法單位元即為任一個能使所有在N內的元素n有下列公式的元素e

e + n = n = n + e.

更多例子[编辑]

  • 在一個裡,加法單位元即是這個群的單位元,通常標記做0,並且是唯一的(見下面證明)。
  • 一個或一個也會是一個在加法運算下的,因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和乘法單位元1不同,若環(或體)有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話,這個環則會是當然的(見下面證明)。
  • 在一個於群G上的mn矩陣所組成的群Mm×n(G)裡,其加法單位元標記為0,且會是個其元素都是在G內的單位元0的mn矩陣。例如,在一個於整數上的2階方陣M2(Z)裡,其加法單位元為
0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}.

證明[编辑]

加法單位元在一個群裡是唯一的[编辑]

令(G,+)是一個,且設0和0'是在G內的兩個加法單位元,則對於所有在G內的g而言,

0 + g = g = g + 0 且 0' + g = g = g + 0'.

由上可得

0 + (0') = (0') = (0') + 0 及 0' + (0) = (0) = (0) + 0'

故可證明 0 = 0'。

加法和乘法單位元在一個非平凡環裡是不同的[编辑]

R是一個,且假設加法單位元0和乘法單位元1會相等,即0=1。設r為於R內的任一元素,則

r = r × 1 = r × 0 = 0

其表示R必須是平凡的,亦即R={0}。再依照換質位法,即可得出若R不是平凡的,則0不會等於1的結論。

另見[编辑]

外部連結[编辑]

參考文獻[编辑]

David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.