二元运算

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二元运算属于数学运算的一种。二元运算需要三个元素:二元运算符以及该运算符作用的两个变量。如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。

如在运算1 + 2之中,二元运算符为“+”,而该运算符作用的操作数分别为1与2。

二元运算只是二元函数的一种,由于它被广泛应用于各个领域,因此受到比其它函数更高的重视。

定义[编辑]

给定集合A,二元函数F: A×A→A称为集合A上的二元运算。给定集合A中两个元素a,b,则按顺序通常写为aFb。更多时候,二元运算会采用某种运算符而不是字母做为标记。

可以看出,“集合A上的二元运算”这样的提法暗示了该运算在A上封闭。

常用性质和术语[编辑]

关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:

幺元(单位元)[编辑]

\circ: A×A→A是集合A上的二元运算,i∈A,则:

  • 称i为A在\circ下的左幺元左单位元),若i满足:∀a∈A,i\circa = a;
  • 称i为A在\circ下的右幺元右单位元),若i满足:∀a∈A,a\circi = a;
  • 称i为A在\circ下的幺元单位元),若i满足:i既是A在二元运算\circ下的左幺元,又是A在二元运算\circ下的右幺元。

逆元[编辑]

\circ: A×A→A是集合A上的二元运算,a,b∈A,i是A在\circ下的幺元。则:

  • 称a是b在\circ下的左逆元,若a,b满足:a\circb=i。
  • 称a是b在\circ下的右逆元,若a,b满足:b\circa=i。
  • 称a是b在\circ下的逆元,若a,b满足:a既是b在\circ下的左逆元,又是b在\circ下的右逆元。(显然此时b也是a的逆元),若上下文明确是哪个运算,则元素a的逆元通常记为a^{-1}

零元[编辑]

\circ: A×A→A是集合A上的二元运算,z∈A,则:

  • 称z为A在\circ下的左零元,若z满足:∀a∈A,z\circa = z;
  • 称z为A在\circ下的右零元,若z满足:∀a∈A,a\circz = z;
  • 称z为A在\circ下的零元,若z满足:z既是A在\circ下的左零元,又是A在\circ下的右零元。

零因子[编辑]

\circ: A×A→A是集合A上的二元运算,a∈A且a≠z,z是A在\circ下的零元。则:

  • 称a是A中在\circ下的左零因子,若a满足:∃b∈A,b≠z,使a\circb=z。
  • 称a是A中在\circ下的右零因子,若a满足:∃b∈A,b≠z,使b\circa=z。
  • 称a为A在\circ下的零因子,若a满足:a既是A在\circ下的左零因子,又是A在\circ下的右零因子。

交换律[编辑]

\circ: A×A→A是集合A上的二元运算,则: 称\circ满足交换律,若\circ满足:∀a,b∈A,a\circb = b\circa;

结合律[编辑]

\circ: A×A→A是集合A上的二元运算,则: 称\circ满足结合律,若\circ满足:∀a,b,c∈A,(a\circb)\circc = a\circ(b\circc);

幂等律[编辑]

\circ: A×A→A是集合A上的二元运算,则: 称\circ满足幂等律,若\circ满足:∀a∈A,a\circa = a;

幂幺律[编辑]

\circ: A×A→A是集合A上的二元运算,则: 设i是A在\circ下的幺元。称\circ满足幂幺律,若\circ满足:∀a∈A,a\circa = i;(显然此时每个元素都是它自己的逆元)。

幂零律[编辑]

\circ: A×A→A是集合A上的二元运算,z是A在\circ下的零元,则: 称\circ满足幂零律,若\circ满足:∀a∈A,有a*a = z;(显然此时每个元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素)。

分配律[编辑]

\circ: A×A→A和◇: A×A→A是集合A上的两个二元运算,则:

  • \circ对◇满足左分配律,若\circ,◇满足:∀a,b,c∈A,有a\circ(b◇c)=a\circb◇a\circc;