二元运算

二元运算属于数学运算的一种。二元运算需要三个元素：二元运算符以及该运算符作用的两个变量。如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。

如在运算1 + 2之中，二元运算符为“+”，而该运算符作用的操作数分别为1与2。

二元运算只是二元函数的一种，由于它被广泛应用于各个领域，因此受到比其它函数更高的重视。

定义

给定集合A，二元函数F: A×A→A称为集合A上的二元运算。给定集合A中两个元素a，b，则按顺序通常写为aFb。更多时候，二元运算会采用某种运算符而不是字母做为标记。

可以看出，“集合A上的二元运算”这样的提法暗示了该运算在A上封闭。

常用性质和术语

关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

幺元（单位元）

设$\circ$: A×A→A是集合A上的二元运算，i∈A，则：

• 称i为A在$\circ$下的左幺元（左单位元），若i满足：∀a∈A，i$\circ$a = a；
• 称i为A在$\circ$下的右幺元（右单位元），若i满足：∀a∈A，a$\circ$i = a；
• 称i为A在$\circ$下的幺元（单位元），若i满足：i既是A在二元运算$\circ$下的左幺元，又是A在二元运算$\circ$下的右幺元。

逆元

设$\circ$: A×A→A是集合A上的二元运算，a，b∈A，i是A在$\circ$下的幺元。则：

• 称a是b在$\circ$下的左逆元，若a，b满足：a$\circ$b=i。
• 称a是b在$\circ$下的右逆元，若a，b满足：b$\circ$a=i。
• 称a是b在$\circ$下的逆元，若a，b满足：a既是b在$\circ$下的左逆元，又是b在$\circ$下的右逆元。（显然此时b也是a的逆元），若上下文明确是哪个运算，则元素a的逆元通常记为$a^{-1}$。

零元

设$\circ$: A×A→A是集合A上的二元运算，z∈A，则：

• 称z为A在$\circ$下的左零元，若z满足：∀a∈A，z$\circ$a = z；
• 称z为A在$\circ$下的右零元，若z满足：∀a∈A，a$\circ$z = z；
• 称z为A在$\circ$下的零元，若z满足：z既是A在$\circ$下的左零元，又是A在$\circ$下的右零元。

零因子

设$\circ$: A×A→A是集合A上的二元运算，a∈A且a≠z，z是A在$\circ$下的零元。则：

• 称a是A中在$\circ$下的左零因子，若a满足：∃b∈A，b≠z，使a$\circ$b=z。
• 称a是A中在$\circ$下的右零因子，若a满足：∃b∈A，b≠z，使b$\circ$a=z。
• 称a为A在$\circ$下的零因子，若a满足：a既是A在$\circ$下的左零因子，又是A在$\circ$下的右零因子。

交换律

设$\circ$: A×A→A是集合A上的二元运算，则： 称$\circ$满足交换律，若*满足：∀a，b∈A，a$\circ$b = b$\circ$a；

结合律

设$\circ$: A×A→A是集合A上的二元运算，则： 称$\circ$满足结合律，若$\circ$满足：∀a，b，c∈A，(a$\circ$b)$\circ$c = a$\circ$(b$\circ$c)；

幂等律

设$\circ$: A×A→A是集合A上的二元运算，则： 称$\circ$满足幂等律，若$\circ$满足：∀a∈A，a$\circ$a = a；

幂幺律

设$\circ$: A×A→A是集合A上的二元运算，则： 设i是A在$\circ$下的幺元。称$\circ$满足幂幺律，若$\circ$满足：∀a∈A，a$\circ$a = i；（显然此时每个元素都是它自己的逆元）。

幂零律

设$\circ$: A×A→A是集合A上的二元运算，z是A在$\circ$下的零元，则： 称$\circ$满足幂零律，若$\circ$满足：∀a∈A，有a*a = z；（显然此时每个元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）。

分配律

设$\circ$: A×A→A和◇: A×A→A是集合A上的两个二元运算，则：

• 称$\circ$对◇满足左分配律，若$\circ$，◇满足：∀a，b，c∈A，有a$\circ$(b◇c)=a$\circ$b◇a$\circ$c；