二元运算

二元运算是种数学运算，它的运算结果跟两个输入值必须是同种东西。比如说，整数的加法是二元运算，因整数相加以后仍然是整数。

定义

二元运算的定义 — 给定集合 $A$，二元函数 $\mathrm {F} :A\times A\rightarrow A$ 称为集合 $A$ 上的二元运算。

如果从集合 $A$ 对自己的笛卡儿积 （也就是 $A\times A$ ）取出的任意 $(a,\,b)$ ，都对应 $A$ 里的某个值 $\mathrm {F} (a,\,b)$ ，那对应规则 $\mathrm {F}$ 的本身就被称为二元运算。

$\mathrm {F} (a,\,b)$ 通常写为 $a\mathrm {F} b$ ，而且比起使用字母，二元运算时常以某种运算符表示，来跟普通的函数作区别。

事实上 $\mathrm {F} :A\times A\rightarrow A$ 这个记号本身就保证了：“只要 $a,\,b\in A$ 就会有 $a\mathrm {F} b\in A$ ”，这个性质也称为（二元）运算封闭性。

常用性质和术语

关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

幺元

设 $\circ$: $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元运算，$i\in A$，则：

• 称 $i$ 为 $A$ 在 $\circ$ 下的左幺元，若 $i$ 满足：$\forall a\in A,i\circ a=a$；
• 称$i$ 为 $A$ 在 $\circ$ 下的右幺元，若 $i$ 满足：$\forall a\in A,a\circ i=a$；
• 称 $i$ 为 $A$ 在 $\circ$ 下的幺元，若 $i$ 满足：$i$ 既是 $A$ 在二元运算 $\circ$ 下的左幺元，又是 $A$ 在二元运算 $\circ$ 下的右幺元。

逆元

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，$a,b\in A$,$i$是$A$在$\circ$下的幺元。则：

• 称$a$是$b$在$\circ$下的左逆元，若$a,b$满足：$a\circ b=i$。
• 称$a$是$b$在$\circ$下的右逆元，若$a,b$满足：$b\circ a=i$。
• 称$a$是$b$在$\circ$下的逆元，若$a,b$满足：a既是$b$在$\circ$下的左逆元，又是$b$在$\circ$下的右逆元。（显然此时$b$也是$a$的逆元），若上下文明确是哪个运算，则元素$a$的逆元通常记为$a^{-1}$。

零元

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，$z\in A$，则：

• 称$z$为$A$在$\circ$下的左零元，若$z$满足：$\forall a\in A,z\circ a=z$；
• 称$z$为$A$在$\circ$下的右零元，若$z$满足：$\forall a\in A,a\circ z=z$；
• 称$z$为$A$在$\circ$下的零元，若$z$满足：z既是$A$在$\circ$下的左零元，又是$A$在$\circ$下的右零元。

零因子

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，$a\in A$且$a\neq z$,$z$是$A$在$\circ$下的零元。则：

• 称$a$是$A$中在$\circ$下的左零因子，若$a$满足：$\exists b\in A,b\neq z$，使$a\circ b=z$。
• 称$a$是$A$中在$\circ$下的右零因子，若$a$满足：$\exists b\in A,b\neq z$，使$b\circ a=z$。
• 称$a$为$A$在$\circ$下的零因子，若$a$满足：a既是$A$在$\circ$下的左零因子，又是$A$在$\circ$下的右零因子。

交换律

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，则： 称$\circ$满足交换律，若$\circ$满足：$\forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a$；

结合律

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，则： 称$\circ$满足结合律，若$\circ$满足：$\forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$；

消去律

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，则：

称$\circ$满足左消去律，若$\circ$满足：$\forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}c\circ a\neq c\circ b$

称$\circ$满足右消去律，若$\circ$满足：$\forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}a\circ c\neq b\circ c$

称$\circ$满足消去律，若$\circ$同时满足左消去律与右消去律。

幂等律

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，则： 称$\circ$满足幂等律，若$\circ$满足：$\forall a\in A,a\circ a=a$；

幂幺律

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，i是$A$在$\circ$下的幺元， 则：称$\circ$满足幂幺律，若$\circ$满足：$\forall a\in A,a\circ a=i$（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

幂零律

设$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元运算，z是$A$在$\circ$下的零元， 则：称$\circ$满足幂零律，若$\circ$满足：$\forall a\in A$，有$a\circ a=z$（显然此时每个元素都是零元，而且既是左零元又是右零元）；

分配律

设$\circ$: $A\times A\to A$和$\diamond$: $A\times A\to A$是集合$A$上的两个二元运算，则：

• 称$\circ$对$\diamond$ 满足左分配律，若$\circ$，$\diamond$ 满足：$\forall a,b,c\in A$，有$a\circ (b\diamond c)=a\circ b\diamond a\circ c$；
• 称$\circ$对$\diamond$ 满足右分配律，若$\circ$，$\diamond$ 满足：$\forall a,b,c\in A$，有$(b\diamond c)\circ a=b\circ a\diamond c\circ a$；
• 称$\circ$对$\diamond$ 满足分配律，若$\circ$对$\diamond$ 满足左分配律以及右分配律；