矩阵

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矩陣

數學上，一個m×n矩陣乃一m行n列的矩形陣列。矩陣由數組成，或更一般的，由某環中元素組成。

矩陣常見於線性代數、線性規劃、統計分析，以及組合數學等。請參考矩陣理論。

[编辑] 歷史

矩陣的研究歷史悠久，拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究。

作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。1693年，微積分的發現者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨建立了行列式論(theory of determinants)。1750年，加布里尔·克拉默其後又定下了克莱姆法则。1800年代，高斯和威廉·約當建立了高斯－約當消去法。

1848年詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特首先創出matrix一詞。研究過矩陣論的著名數學家有阿瑟·凯莱、威廉·盧雲·哈密頓、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和馮·諾伊曼。

[编辑] 用詞

在台灣，橫向稱為「列」，縱向稱為「行」。在中國大陸，橫向稱為「行」，縱向稱為「列」。

[编辑] 定義和相關符號

以下是一個 4 × 3 矩陣：

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&1&5\end{bmatrix}$

某矩陣 A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常記為 A[i,j]　或 A_i,j。在上述例子中 A[2,3]=7。

在C语言中，亦以 A[i][j] 表達。(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)

此外 A = (a_ij)，意為 A[i,j] = a_ij 對於所有 i 及 j，常見於數學著作中。

[编辑] 一般環上構作的矩陣

給出一環 R，M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩陣的集合。若 m=n，則通常記以 M(n,R)。這些矩陣可加可乘 (請看下面)，故 M(n,R) 本身是一個環，而此環與左 R 模 Rⁿ 的自同態環同構。

若 R 可置換，則 M(n, R) 為一帶單位元的 R-代數。其上可以莱布尼茨公式定義行列式：一個矩陣可逆當且僅當其行列式在 R 內可逆。

在維基百科內，除特別指出，一個矩陣多是實數矩陣或虛數矩陣。

[编辑] 分塊矩陣

分塊矩陣 是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣

$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 7 & 5\\ 4 & 9 & 2 & 6\\ 6 & 1 & 5 & 8\end{bmatrix}$

可分割成 4 個 2×2 的矩陣

$P_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} P_{12} = \begin{bmatrix} 3 & 2\\ 7 & 5\end{bmatrix} P_{21} = \begin{bmatrix} 4 & 9 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} P_{22} = \begin{bmatrix} 2 & 6\\ 5 & 8\end{bmatrix}$

$P = \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12}\\ P_{21} & P_{22}\end{bmatrix}$ 。

此法可用於簡化運算，簡化數學證明，以及一些電腦應用如VLSI晶片設計等。

[编辑] 特殊矩陣類別

對稱矩陣是相對其主對角綫（由左上至右下）對稱, 即是 a_i,j=a_j,i。
埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對其主對角綫以複共軛方式對稱, 即是 a_i,j=a^*_j,i。
特普利茨矩陣在任意對角綫上所有元素相對, 是 a_i,j=a_i+1,j+1。
隨機矩陣所有列都是概率向量, 用於馬爾可夫鏈。

[编辑] 矩陣運算

給出 m×n 矩陣 A 和 B，可定義它們的和 A + B 為一 m×n 矩陣，等 i,j 項為 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。舉例：

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

另類加法可見於矩陣加法.

若給出一矩陣 A 及一數字 c，可定義标量积 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。例如

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

這兩種運算令 M(m, n, R) 成為一實數線性空間，維數是mn.

若一矩陣的列數與另一矩陣的行數相等，則可定義這兩個矩陣的乘積。如 A 是 m×n 矩陣和 B 是 n×p矩陣，它們是乘積 AB 是一個 m×p 矩陣，其中

(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 對所有 i 及 j。

例如

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

此乘法有如下性質：

(AB)C = A(BC) 對所有 k×m 矩陣 A, m×n 矩陣 B 及 n×p 矩陣 C ("結合律").
(A + B)C = AC + BC 對所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 n×k 矩陣 C ("分配律")。
C(A + B) = CA + CB 對所有 m×n 矩陣 A 及 B 和 k×m 矩陣 C ("分配律")。

要注意的是：可置換性不一定成立，即有矩陣 A 及 B 使得 AB ≠ BA。

對其他特殊乘法，見矩陣乘法。

[编辑] 綫性變換，秩，轉置

矩陣是綫性變換的便利表達法，皆因矩陣乘法與及綫性變換的合成有以下的連繫：

以 Rⁿ 表示 n×1 矩陣（即長度為n的矢量）。對每個綫性變換 f : Rⁿ -> R^m 都存在唯一 m×n 矩陣 A 使得對所有 Rⁿ中的元素x， f(x) = Ax 。這矩陣 A "代表了" 綫性變換 f。今另有 k×m 矩陣 B 代表綫性變換 g : R^m -> R^k，則矩陣積 BA 代表了綫性變換 g o f。

矩陣 A 代表的綫性代數的映像的維數稱為 A 的矩陣的秩。矩陣秩亦是 A 的行（或列）生成空間的維數。

m×n矩陣 A 的轉置是由行列交換角式生成的 n×m 矩陣 A^tr （亦记作 A^T 或 ^tA），即對所有 i 、 j，A^tr[i, j] = A[j, i] 。若 A 代表某一綫性變換，則 A^tr 表示其對偶算子。

轉置有以下特性：

(A + B)^tr = A^tr + B^tr，(AB)^tr = B^trA^tr。

[编辑] Jacobian 行列式

請參見外部連結[1]

[编辑] 参见

矩陣論專有名詞表：有關矩陣論所用到的名詞的定義
方块矩阵
矩陣範數

[编辑] 参考文献

[编辑] 外部链接

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分类: 矩陣論

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