矩阵

跳过字词转换说明

线性代数

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间 向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积 · 内积 · 叉积 · 点积 · 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 單位矩陣 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 酉矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展開 · 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 ·

矩陣

數學上，一個m×n矩陣乃一m行n列的矩形陣列。矩陣由數組成，或更一般的，由某环中元素組成。

矩陣常見於線性代數、線性規劃、統計分析，以及組合數學等。請參考矩陣理論。

歷史

作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。1693年，微積分的發現者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨建立了行列式論（theory of determinants）。1750年，加布里尔·克拉默其後又定下了克莱姆法则。1800年代，高斯和威廉·約當建立了高斯－約當消去法。

1848年詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特首先創出matrix一詞。研究過矩陣論的著名數學家有阿瑟·凯莱、威廉·盧雲·哈密頓、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和馮·諾伊曼。

用詞

在英語中，橫向稱為「Row」，縱向稱為「Column」。在台灣，橫向譯為「列」，縱向譯為「行」，而在中國大陸則相反，橫向譯為「行」，縱向譯為「列」。

定義和相關符號

以下是一個4 × 3矩陣：

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&1&5\end{bmatrix}$

某矩陣A從左上角數來的第i 行第j 列，或i,j位，通常記為A[i,j]　或A_i,j。在上述例子中A[2,3]=7。

此外A = (a_ij)，意為A[i,j] = a_ij對於所有i及j，常見於數學著作中。

一般環上的矩陣

給出一環R，M(m,n, R)是所有由R中元素排成的m× n矩陣的集合。若m=n，則通常記以M(n,R)。這些矩陣可加可乘 (請看下面)，故M(n,R)本身是一個環，而此環與左R 模Rⁿ的自同態環同構。

若R可置換， 則M(n, R)為一帶單位元的R-代數。其上可以莱布尼茨公式定義行列式：一個矩陣可逆當且僅當它的行列式是在R內的可逆元。

分塊矩陣

分塊矩陣是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣

$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 7 & 5\\ 4 & 9 & 2 & 6\\ 6 & 1 & 5 & 8\end{bmatrix}$

可分割成4個2×2的矩陣

$P_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} P_{12} = \begin{bmatrix} 3 & 2\\ 7 & 5\end{bmatrix} P_{21} = \begin{bmatrix} 4 & 9 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} P_{22} = \begin{bmatrix} 2 & 6\\ 5 & 8\end{bmatrix}$

$P = \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12}\\ P_{21} & P_{22}\end{bmatrix}$。

此法可用於簡化運算，簡化數學證明，以及一些電腦應用如VLSI晶片設計等。

特殊矩陣類別

• 對稱矩陣是相對其主對角綫（由左上至右下）對稱，即是a_i,j=a_j,i。
• 埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對其主對角綫以複共軛方式對稱，即是a_i,j=a^*_j,i。
• 特普利茨矩陣在任意對角綫上所有元素相對，是a_i,j=a_i+1,j+1。
• 隨機矩陣所有列都是概率向量，用於馬爾可夫鏈。

矩陣運算

給出m×n矩陣A和B，可定義它們的和A + B為一m×n矩陣，第i,j項為 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。舉例：

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

另類加法可見於矩陣加法.

若給出一矩陣A及一數字c，可定義标量积cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。 例如

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

這兩種運算令M(m, n, R)成為一實數線性空間，維數是mn.

若一矩陣的列數與另一矩陣的行數相等，則可定義這兩個矩陣的乘積。如A是m×n矩陣和B是n×p矩陣，它們的乘積AB是一個m×p矩陣，其中

(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 對所有i及j。

例如

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

此乘法有如下性質：

• (AB)C = A(BC)對所有k×m矩陣A, m×n矩陣B及n×p矩陣C（"結合律"）.
• (A + B)C = AC + BC對所有m×n矩陣A及B和n×k矩陣C（"分配律"）。
• C(A + B) = CA + CB對所有m×n矩陣A及B和k×m矩陣C（"分配律"）。

要注意的是：交换律不一定成立，即有矩陣A及B使得AB ≠ BA。

對其他特殊乘法，見矩陣乘法。

綫性變換，秩，轉置

矩陣是綫性變換的便利表達法，皆因矩陣乘法與及綫性變換的合成有以下的連繫：

以Rⁿ表示n×1矩陣（即長度為n的矢量）。對每個綫性變換f : Rⁿ -> R^m都存在唯一m×n矩陣A使得對所有Rⁿ中的元素x，f(x)= Ax。 這矩陣A "代表了"綫性變換f。 今另有k×m矩陣B代表綫性變換g : R^m -> R^k，則矩陣積BA代表了綫性變換g o f。

矩陣A代表的綫性代數的映像的維數稱為A的矩陣的秩。矩陣秩亦是A的行（或列）生成空間的維數。

m×n矩陣A的轉置是由行列交換角式生成的n×m矩陣A^tr（亦记作A^T或^tA），即對所有i、j，A^tr[i, j] = A[j, i] 。若A代表某一綫性變換，則A^tr表示其對偶算子。

轉置有以下特性：

(A + B)^tr = A^tr + B^tr，(AB)^tr = B^trA^tr。

参见

• 矩陣論專有名詞表：有關矩陣論所用到的名詞的定義
• 方块矩阵
• 矩陣範數
• 雅可比矩阵