斜埃尔米特矩阵

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

一个方块矩阵A斜埃尔米特矩阵反埃尔米特矩阵,如果它的共轭转置A*也是它的负数。也就是说,它满足以下的关系:

A* = −A

或者,如果A = (ai,j):

a_{i,j} = -\overline{a_{j,i}}

对于所有的ij

例子[编辑]

例如,以下的矩阵是斜埃尔米特矩阵:

\begin{pmatrix}i & 2 + i \\ -2 + i & 3i \end{pmatrix}

性质[编辑]

  • 斜埃尔米特矩阵的特征值全是纯虚数。更进一步,斜埃尔米特矩阵都是正规矩阵。因此它们是可对角化的,它们不同的特征向量一定是正交的。
  • 斜埃尔米特矩阵的主对角线上的所有元素都一定是纯虚数。
  • 如果A是斜埃尔米特矩阵,那么iA埃尔米特矩阵
  • 如果A, B是斜埃尔米特矩阵,那么对于所有的实数a, baA + bB也一定是斜埃尔米特矩阵。
  • 如果A是斜埃尔米特矩阵,那么对于所有的正整数kA2k都是埃尔米特矩阵。
  • 如果A是斜埃尔米特矩阵,那么A的奇数次方也是斜埃尔米特矩阵。
  • 如果A是斜埃尔米特矩阵,那么eA酉矩阵
  • 一个矩阵和它的共轭转置的差(C - C^*)是斜埃尔米特矩阵。
  • 任意一个方块矩阵C都可以写成一个埃尔米特矩阵A和一个斜埃尔米特矩阵B的和:
C = A+B \quad \quad A = \frac{1}{2}(C + C^*) \quad \quad B = \frac{1}{2}(C - C^*).

参见[编辑]