斜埃尔米特矩阵

线性代数

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

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一个方块矩阵A是斜埃尔米特矩阵或反埃尔米特矩阵，如果它的共轭转置A^*也是它的负数。也就是说，它满足以下的关系：

A^* = −A

或者，如果A = (a_i,j)：

$a_{i,j} = -\overline{a_{j,i}}$

对于所有的i和j。

例子

例如，以下的矩阵是斜埃尔米特矩阵：

$\begin{pmatrix}i & 2 + i \\ -2 + i & 3i \end{pmatrix}$

性质

• 斜埃尔米特矩阵的特征值全是纯虚数。更进一步，斜埃尔米特矩阵都是正规矩阵。因此它们是可对角化的，它们不同的特征向量一定是正交的。
• 斜埃尔米特矩阵的主对角线上的所有元素都一定是纯虚数。
• 如果A是斜埃尔米特矩阵，那么iA是埃尔米特矩阵。
• 如果A, B是斜埃尔米特矩阵，那么对于所有的实数a, b，aA + bB也一定是斜埃尔米特矩阵。
• 如果A是斜埃尔米特矩阵，那么对于所有的正整数k，A^2k都是埃尔米特矩阵。
• 如果A是斜埃尔米特矩阵，那么A的奇数次方也是斜埃尔米特矩阵。
• 如果A是斜埃尔米特矩阵，那么e^A是酉矩阵。
• 一个矩阵和它的共轭转置的差（$C - C^*$）是斜埃尔米特矩阵。
• 任意一个方块矩阵C都可以写成一个埃尔米特矩阵A和一个斜埃尔米特矩阵B的和：

$C = A+B \quad$，$\quad A = \frac{1}{2}(C + C^*) \quad$，$\quad B = \frac{1}{2}(C - C^*).$

参见

• 斜对称矩阵
• 埃尔米特矩阵
• 正规矩阵
• 酉矩阵