單位矩陣

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

線性代數中,n單位矩陣,是一個n \times n方形矩陣,其主對角線元素為1,其餘元素為0。單位矩陣以I_n表示;如果階數可忽略,或可由前後文確定的話,也可簡記為I(或者E)。(在部分領域中,如量子力學,單位矩陣是以粗體字的1表示,否則無法與I作區別。)


I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\ 
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

一些數學書籍使用UE(分別意為「單位矩陣」和「基本矩陣」),不過I更加普遍。

根據矩陣乘法的定義,單位矩陣I_n的重要性質為:

AI_n = AI_nB = B

特別是單位矩陣作為所有n階矩陣的的單位,以及作為由所有n可逆矩陣構成的一般線性群GL(n)單位元(單位矩陣明顯可逆,單位矩陣乘自己,仍是單位矩陣)。

這些n階矩陣經常表示來自n維向量空間自己的線性變換I_n表示恆等函數,而不理會

單位矩陣中的第i列即為單位向量e_i。單位向量同時也是單位矩陣的特徵向量特徵值皆為1,因此這是唯一的特徵值,且具有重數 n。由此可見,單位矩陣的行列式為1,且跡數n

有時使用這個記法簡潔的描述對角線矩陣,寫作:

 I_n = \mathrm{diag}(1,1,...,1)

也可以克羅內克爾δ記法寫作:

(I_n)_{ij} = \delta_{ij}