反對稱矩陣

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

線性代數中,反對稱矩陣(或稱斜對稱矩陣)是一個方形矩陣,其轉置矩陣和自身的加法逆元相等。其滿足:

AT = − A

或寫作A = (a_{ij}),各元素的關係為:

a_{ij} = -a_{ji} \,\!

例如,下例為一個斜對稱矩陣:

\begin{bmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0\end{bmatrix}

在非偶数域中,斜對稱矩陣中的主對角線元素皆為0。

例子[编辑]

\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
-2 & 0 \end{pmatrix}

特性[编辑]

  • 斜對稱矩陣自身相乘的積是對稱矩陣
  • 任意矩陣AA^T - A是斜對稱矩陣。
  • A是斜對稱矩陣,x向量x^T A x = 0
  • 斜對稱矩陣的主對角線元素必是零,所以其跡數為零。

行列式[编辑]

An \times n的斜對稱矩陣,其行列式滿足

\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A^T)=\operatorname{det}(-A)=(-1)^n \operatorname{det}(A)
  • n是奇數,行列式等於零。這個結果叫雅可比定理
  • n是偶數,行列式可以寫成部分元素的多項式的平方:\operatorname{det}(A)=\operatorname{Pf}(A)^2

這個多項式\operatorname{Pf}(A)APfaffian。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數。

譜理論[编辑]

斜對稱矩陣的特征根永遠以成對的形式(±λ)出現,因此一個實數斜對稱矩陣的非零特征根為純虛數將會如下:iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2, …,其中 λk 是實數。

实斜对称矩阵是正规矩阵(它们与伴随矩阵可交换),因此满足谱定理的条件,它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数,因此无法用实矩阵来对角化。然而,通过正交变换,可以把每一个斜对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地,每一个2n × 2n的实斜对称矩阵都可以写成A = Q Σ QT的形式,其中Q是正交矩阵,且:

\Sigma = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} &  0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} &  & 0 \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\
& & & & \begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ & & 0 \end{matrix}
\end{bmatrix}

对于实数λk。这个矩阵的非零特征值是±iλk。在奇数维的情况中,Σ总是至少有一个行和一个列全是零。

无穷小旋转[编辑]

斜对称矩阵形成了正交群O(n)在单位矩阵的切空间。在某种意义上,斜对称矩阵可以视为无穷小旋转

另外一种说法是,斜对称矩阵的空间形成了李群O(n)的李代数o(n)。这个空间上的李括号由交换子给出:

[A,B] = AB - BA.\,

很容易验证,两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。

于是,斜对称矩阵A矩阵指数,是正交矩阵R

R=\exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}.

李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中,这个连通分支是特殊正交群SO(n),由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此R = exp(A)的行列式为+1。于是,每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。

參見[编辑]

参考文献[编辑]