指数映射

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微分幾何中,指數映射微積分中定義的指數函數在任意黎曼流形上的推廣。李群上的指數映射是一類重要的情形。

定義[编辑]

M微分流形\nabla: TM \to T^* M \otimes TM 為其上的仿射聯絡。給定任一點 p \in M。根據常微分方程的基本理論,存在切空間 T_p M 中的開子集 U \ni p 及光滑映射 \gamma: U \times [0,2] \to M,使得:

  • \gamma(0,-) = p
  • 對每個 v \in U,映射 \gamma(v,-): [0,2] \to M測地線
  • 承上,\frac{d}{dt}|_{t=0}\gamma(v,t) = v

對夠小的 U,映射 \gamma 是唯一的。定義點 p 的指數映射為

\exp(w) = \gamma(w,1) \quad (w \in U)

由於常微分方程解的存在性只是局部性的,指數映射一般不能定義在整個 T_p M 上,在黎曼流形的情形,霍普夫-里諾定理給出了充要條件。此外,指數映射通常也不是滿映射,而是 p 的一個鄰域。黎曼流形上由指數映射給出的坐標系稱作測地法坐標

从几何上看,指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v,映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。

李群的情形[编辑]

G李群,取定左、右不變之仿射聯絡,可得在整個李代數上定義的指數映射 \exp: \mathfrak{g} \to g。這是聯繫李代數與李群的主要工具。李群的指數映射滿足下述性質:

  • [X,Y]=0,則 \exp(X+Y) = \exp(X)\exp(Y);對一般情形,左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式給出。
  • \exp(\mathfrak{g}) 在群論的意義下生成 G
  • \phi\colon G \to H 為李群同態\phi_{*} 為它在單位元處的拉回作用,則我们有一交換圖
ExponentialMap-01.png
  • 重要的特例是 G=H\phi = \mathrm{Ad}_g(伴隨作用),此時有
    • g(\exp X)g^{-1} = \exp(\mathrm{Ad}_gX)\,
    • \mathrm{Ad}_{\exp X} = \exp(\mathrm{ad}_X)\,

G = (\mathbb{R}^\times, \cdot),相應者便是尋常的指數函數 x \mapsto e^x。取 G = (\mathbb{R}^n, +),相應者是恆等映射 \mathrm{id}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

事實上,對複李群及任何完備上的解析李群都能定義指數映射。

文獻[编辑]

  • Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
  • Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975).