拉普拉斯展开

在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的 n 个元素的(n-1) × (n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有 n 行 n 列，它的拉普拉斯展开一共有 2n 种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。

公式

设B = (b_ij)是一个n × n矩阵。B关于第i行第j列的余子式M_ij是指B中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的（i，j）余子式。B的（i，j）代数余子式：C_ij 是指B的（i，j）余子式M_ij与(−1)^{i + j}的乘积：C_ij = (−1)^{i + j} M_ij

拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j ∈ {1, 2, ...,n}：

$\begin{align}|B| & {} = b_{i1} C_{i1} + b_{i2} C_{i2} + \cdots + b_{in} C_{in} \\ & {} = b_{1j} C_{1j} + b_{2j} C_{2j} + \cdots + b_{nj} C_{nj}. \end{align}$

例子

考虑以下的矩阵：

$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}.$

这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：

$|B| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$

${} = 1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-6) + 3 \cdot (-3) = 0.$

也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：

$|B| = -2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} - 8 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}$

${} = -2 \cdot (-6) + 5 \cdot (-12) - 8 \cdot (-6) = 0.$

很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。

证明

设B是一个n × n的矩阵，i、j ∈ {1, 2, ..., n}。为了明确起见，将$M_{ij}$的系数记为$(a_{st})$，其中1 ≤ s,t ≤ n − 1.

考虑B的行列式|B|中的每个含有$b_{ij}$的项，它的形式为：

$\sgn \tau\,b_{1,\tau(1)} \cdots b_{i,j} \cdots b_{n,\tau(n)} = \sgn \tau\,b_{ij} a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n-1,\sigma(n-1)}$

其中的置换 τ ∈ S_n使得τ(i) = j，而σ ∈ S_n-1 是唯一的将除了 i 以外的其他元素都映射到与 τ 相同的像上去的置换。显然，每个 τ 都对应着唯一的 σ，每一个 σ 也对应着唯一的 τ。因此我们创建了S_n − 1与{τ ∈ S_n : τ(i) = j}之间的一个双射。 置换 τ 可以经过如下方式从 σ 得到：

定义 σ' ∈ S_n 使得对于 1 ≤ k ≤ n − 1，σ'(k) = σ(k) 并且 σ'(n) = n，于是 sgn σ' = sgn σ 。然后

$\tau\,= (n,n-1,\ldots,i)\,\sigma'\,(j,j+1,\ldots,n).$

由于两个轮换分别可以被写成 n − i 和 n − j 个对换，因此

$\sgn\tau\,= (-1)^{2n-(i+j)} \sgn\sigma'\,= (-1)^{i+j} \sgn\sigma.$

因此映射 σ ↔ τ 是双射。由此，

$\sum_{\tau \in S_n:\tau(i)=j}$	$\sgn \tau\,b_{1,\tau(1)} \cdots b_{n,\tau(n)}$
	$= \sum_{\sigma \in S_{n-1}} (-1)^{i+j}\sgn\sigma\, b_{ij} a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n-1,\sigma(n-1)}$
	$=\ b_{ij} (-1)^{i+j} |M_{ij}|,$

从而拉普拉斯展开成立。

拉普拉斯定理

拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。

参考来源

• 拉普拉斯定理
• 线性代数发展史
• 行列式的展开定理
• 戴立辉，线性代数，同济大学出版社，2007.