向量空间

向量空間是可以縮放和相加的（叫做向量的）對象的集合。

向量空間（或称線性空間）是现代数学中的一个基本概念。是線性代數研究的基本对象。

向量空间的一个直观模型是向量几何，幾何上的向量及相关的運算即向量加法，標量乘法，以及对運算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空間”这个數學概念的直观形象。

在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

公理化定義

給定域 F，一個向量空間是個集合 V 并规定兩個運算：

• 向量加法：V × V → V，把 V 中的两个元素v和w变为 V 中另一个元素，记作 v + w；
• 标量乘法：F × V → V，把F中的一个元素a 和 V 中的一个元素v变为 V 中的另一个元素，記作a v。

这两个运算符合下列公理（对F 中的任意元素 a、b 以及V 中的任意元素 u、v、w）：

1. 向量加法結合律：u + (v + w) = (u + v) + w，
2. 向量加法交換律：v + w = w + v，
3. 存在向量加法的單位元：V 裡存在一个叫做零向量的元素，记作0，满足：∀ v ∈ V , v + 0 = v，
4. 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V, 使得 v + w = 0。
5. 标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
6. 标量乘法对域加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
7. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(b v) = (ab)v。
8. 标量乘法有單位元：域 F 的乘法單位元1满足：∀ v，1 v = v。

前四個公理是說明向量V在向量加法中是個交換群，餘下的四个公理應用於标量乘法。需要注意的是向量之间的加法和标量之间的加法是不一样的，标量与向量之间的乘法（标量乘法）和两个标量之间的乘法（域中自带的乘法）也是不一样的。

簡而言之，向量空間是一個F-模。

V 中的元素叫作向量，而F 中的元素叫作純量。

• 若F是實數域ℝ，V稱為實數向量空間.
• 若F是複數域ℂ，V稱為複數向量空間.
• 若F是有限域，V稱為有限域向量空間
• 對一般域F，V稱為F-向量空間

基本性质

以下是一些很容易從向量空間公理推導出來的特性:

• 零向量 0 ∈ V（公理3）是唯一的.
• a 0 = 0 ∀ a ∈ F.
• 0 v = 0 ∀ v ∈ V 這裡 0 是F的加法單位元。
• a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0。
• 可加的逆元向量 v（公理4）是唯一的。（寫成−v）。這個寫法v − w 及 v + (−w) 都是標準的。
• (−1)v = −v ∀ v ∈ V
• (−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F , ∀ v ∈ V

例子

最简单的系数域为域F的向量空间的例子是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对ℝ中的任意元素 a、b 以及ℝ中的任意元素 u、v、w，都有：

1. u + (v + w) = (u + v) + w，
2. v + w = w + v，
3. 零元素存在：实数0满足：∀ v ∈ ℝ , v + 0 = v，
4. 逆元素存在：∀v∈ ℝ, ∃w = -v ∈ ℝ, 使得 v + w = 0。
5. 标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
6. 向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
7. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(b v) = (ab)v。
8. 标量乘法有單位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数1满足：∀ v，1 v = v。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点$P$都有一个坐标$P(x, y)$，并对应着一个向量$(x, y)$。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组$(x, y)$。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间$\mathbb{R}^n$也是向量空间的例子。其中的向量表示为$v = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$，其中的$a_1, a_2, \cdots, a_n$都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, v = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n, \, w = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathbb{R}^n$， $v + w = (a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n)$ $\lambda v = \lambda (a_1, a_2, \cdots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \cdots, \lambda a_n)$

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合$\mathbb{R}[X]$。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，$\mathbb{R}[X]$也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合$\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

$3x + 2y - z = 0$

$x + 5y + 2z = 0$

如果$(x_1, y_1, z_1)$ 和$(x_2, y_2, z_2)$ 都是解，那么可以验证它们的“和”$(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ 也是一组解，因为：

$3(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = (3x_1 + 2y_1 - z_1) + (3x_2 + 2y_2 - z_2) = 0$

$(x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (x_1 + 5y_1 + 2z_1) + (x_2 + 5y_2 + 2z_2) = 0$

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

$f'' + 4xf' + \cos(x)f = 0$

出于和上面类似的理由，方程的两个解$f_1$ 和$f_2$ 的和函数$f_1 + f_2$ 也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空間基底

如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的線性子空間（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空间${0}$。

給出一個向量集合B，那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也称線性包络，记作span(B)。

給出一個向量集合B，若它的生成集就是向量空間V， 则稱B為V的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就稱V是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列：$\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n, \cdots \right\}$，那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現：

$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n + \cdots$

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如,各种實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³, …, ℝ^∞, …中， ℝⁿ 的維度就是 n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基$\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \right\}$，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n$

那么v可以用数组$v = (\lambda_1 ,\lambda_2 , \cdots , \lambda_n )$来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

$e_1 = (1, 0, \cdots ,0)$ $e_2 = (0, 1, \cdots ,0)$ $e_n = (0, 0, \cdots ,1)$

可以证明，任意一个n维的$\mathbf{F}$-向量空间和空间$\mathbf{F}^n$有同样的“构造”。这种关系称为同构，详见下一节。

線性映射

給定兩個系数域都是F的向量空間 V 和 W, 定义由 V 到 W 的線性變換（或称线性映射）为所有从 V 射到 W 并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

$f : \, V \rightarrow W$ $\forall a \in F, u,v \in V, \, f(u+v) = f(u) + f(v), \, f(a \cdot v) = a \cdot f(v)$

所有线性变换的集合记为$\mathcal{L}(V, W)$，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了 V 和 W 上各自的一组基之后，$\mathcal{L}(V, W)$ 中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空間 V 和 W 之间的一个線性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在 V 和 W 之間存在同構, 那么稱這兩個空間為同構的。如果向量空間 V 和 W 之间存在同构$f : \, V \rightarrow W$，那么其逆映射$g : \, W \rightarrow V$也存在，并且对所有的$x \in V, \, y \in W$，都有：

$g \circ f (x) = x, \, f \circ g (y) = y$

概念化及額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

• 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。
• 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。
• 一個向量空間加上拓撲結構并滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。
• 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。

參見

• 線性代數
• 空間向量 - 物理學的向量

參考文獻

• 中國大百科
• Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
• Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
• Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
• Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
• Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8