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向量空间

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间
向量空間是可以縮放和相加的(叫做向量的)對象的集合

向量空間(或称線性空間)是现代数学中的一个基本概念。是線性代數研究的基本对象。

向量空间的一个直观模型是向量几何,幾何上的向量及相关的運算即向量加法,標量乘法,以及对運算的一些限制如封闭性结合律,已大致地描述了“向量空間”这个數學概念的直观形象。

在现代数学中,“向量”的概念不仅限于此,满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如,實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析

公理化定義[编辑]

給定FF上的向量空間V是一个集合,其上定义了两种二元运算

  • 向量加法:V + VV,把V中的两个元素uv映射到V中另一个元素,记作u + v
  • 标量乘法:F × VV,把F中的一个元素aV中的一个元素u变为V中的另一个元素,記作a ·u

V中的元素称为向量,相对地,F中的元素称为标量。而V装备的两个运算满足下面的公理(对F中的任意元素ab以及V中的任意元素uvw都成立):

  1. 向量加法結合律u + (v + w) = (u + v) + w,
  2. 向量加法交換律u + v = v + u
  3. 存在向量加法的單位元V裡存在一个叫做零向量的元素,记作0,使得对任意uV,都有u + 0 = u
  4. 向量加法的逆元素:对任意uV,都存在vV,使得u + v = 0
  5. 标量乘法对向量加法满足分配律a · (v + w) = a ·v + a ·w.
  6. 标量乘法对域加法满足分配律(a + b) ·v = a ·v + b ·v.
  7. 标量乘法与标量的域乘法相容:a(b ·v) = (ab) ·v.
  8. 标量乘法有單位元:域F的乘法單位元“1”满足:对任意v,1 ·v = v

前四個公理說明装备了向量加法的V交換群,餘下的四个公理應用於标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的,标量与向量之间的标量乘法·和两个标量之间的乘法(域F中自带的乘法)也是不一样的。

簡而言之,向量空間是一個F

基本性质[编辑]

以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质:

  • 零向量0是唯一的;
  • 对任意aFa · 0 = 0
  • 对任意uV,0 ·u = 0(0是F的加法單位元)。
  • 如果a ·u = 0,则要么a = 0,要么u = 0
  • 向量加法的向量v是唯一的,记作− vu + (− v)也可以写成u − v,两者都是标准的。
  • 对任意uV,−1 ·u = − u.
  • 对任意aF以及uV(−a) ·u= (a ·u) = a · (− u).

例子[编辑]

對一般域FV记為F-向量空間。若F實數域,则V稱為實數向量空間;若F複數域,则V稱為複數向量空間;若F有限域,则V稱為有限域向量空間

最简单的F-向量空間是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法,标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域时,可以验证对任意实数ab以及任意实数uvw,都有:

  1. u + (v + w) = (u + v) + w
  2. v + w = w + v
  3. 零元素存在:实数0满足:对任何的实数vv + 0 = v
  4. 逆元素存在:对任何的实数v,它的相反数w = −v就满足v + w = 0
  5. 标量乘法对向量加法满足分配律a(v + w) = a v + a w.
  6. 向量乘法对标量加法满足分配律(a + b)v = a v + b v.
  7. 标量乘法与标量的域乘法相容:a(bv) =(ab)v
  8. 标量乘法有單位元中的乘法单位元,也就是实数“1”满足:对任意实数v1v = v

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面:平面上的每一点P都有一个坐标P(x, y),并对应着一个向量(x, y)。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间,记作ℝ²,因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组(x, y)。可以验证,对于普通意义上的向量加法和标量乘法,ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上,向量空间是ℝ²的推广。

同样地,高维的欧几里得空间n也是向量空间的例子。其中的向量表示为v = (a_1, a_2, \cdots, a_n),其中的a_1, a_2, \cdots, a_n都是实数。定义向量的加法和标量乘法是:

\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, v = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n, \, w = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathbb{R}^n
v + w = (a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n)
\lambda v = \lambda (a_1, a_2, \cdots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \cdots, \lambda a_n)

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合\mathbb{R}[X]。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法,\mathbb{R}[X]也构成一个向量空间。更广泛地,所有从实数域射到实数域的连续函数的集合\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})也是向量空间,因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间[编辑]

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组(常数项都是0的线性方程组)的解的集合。例如下面的方程组:

3x + 2y - z = 0
x + 5y + 2z = 0

如果(x_1, y_1, z_1)(x_2, y_2, z_2)都是解,那么可以验证它们的“和”(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)也是一组解,因为:

3(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = (3x_1 + 2y_1 - z_1) + (3x_2 + 2y_2 - z_2) = 0
(x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (x_1 + 5y_1 + 2z_1) + (x_2 + 5y_2 + 2z_2) = 0

同样,将一组解乘以一个常数后,仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理,因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说,当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时,方程组有无限多组解,并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程,解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程:

f'' + 4xf' + \cos(x)f = 0

出于和上面类似的理由,方程的两个解f_1f_2的和函数f_1 + f_2也满足方程。可以验证,这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空間基底[编辑]

如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭(也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中),那么将W称为V線性子空間(简称子空间)。V的子空间中,最平凡的就是空間V自己,以及只包含0的子空间{0}

給出一個向量集合B,那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間,也称線性包络,记作span(B)。

給出一個向量集合B,若它的生成集就是向量空間V,则稱BV的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集,那么就稱V是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間V線性獨立子集,稱為這個空間的。若V={0},约定唯一的基是空集。對非零向量空間V,基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后,空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列:\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n, \cdots \right\},那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現:

v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n + \cdots

这种表示方式必然存在,而且是唯一的。也就是说,向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明,一个向量空間的所有基都擁有相同基數,稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时,任何一组基中的元素个数都是定值,等于空间的维度。例如,各种實數向量空間:ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ,…中, ℝn的維度就是n。在一个有限维的向量空间(维度是n)中,确定一组基\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \right\},那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说,如果某个向量v表示为:

v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n

那么v可以用数组v = (\lambda_1 ,\lambda_2 , \cdots , \lambda_n )来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法,基中元素表示为:

e_1 = (1, 0, \cdots ,0)
e_2 = (0, 1, \cdots ,0)
e_n = (0, 0, \cdots ,1)

可以证明,存在从任意一个n维的\mathbf{F}-向量空间到空间\mathbf{F}^n双射。这种关系称为同构。

線性映射[编辑]

給定兩個系数域都是F的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換(或称线性映射)为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f

f : \, V \rightarrow W
\forall a \in F, u,v \in V, \, f(u+v) = f(u) + f(v), \, f(a \cdot v) = a \cdot f(v)

所有线性变换的集合记为 \mathcal{L}(V, W),这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后, \mathcal{L}(V, W)中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射,那么这个线性映射称为(线性)同构,表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構,那么稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之间存在同构f : \, V \rightarrow W,那么其逆映射g : \, W \rightarrow V也存在,并且对所有的x \in V, \, y \in W,都有:

g \circ f (x) = x, \, f \circ g (y) = y

概念化及額外結構[编辑]

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下:

參考文獻[编辑]

  • 中国大百科全书
  • Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
  • Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
  • Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
  • Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
  • Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8