餘因子矩陣

在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。

定義

對一個 $n \times n$ 矩陣 $A$，在 $(i,j)$ 的子行列式（余子式） $M_{ij}$ 定義為刪掉 $A$ 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式。令 $C_{ij} := (-1)^{i+j} M_{ij}$，稱為 $A$ 在 $(i,j)$ 的餘因子（代数余子式）。矩陣 $\mathrm{cof}(A) := (C_{ij})_{i,j}$ 稱作 $A$ 的餘因子矩陣（余子矩阵）。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣，記為 $\mathrm{adj}(A)$。

範例

考慮三階方陣

$B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \\ \end{bmatrix}$

今將計算餘因子 $C_{23}$。子行列式 $M_{23}$ 是下述矩陣（在 $B$ 中去掉第2橫列與第3縱行）之行列式：

$M_{23} = \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \Box \\ \Box & \Box & \Box \\ b_{31} & b_{32} & \Box \\ \end{vmatrix}$ 給出 $M_{23} = \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{vmatrix} = b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12}$

根據定義得到

$\ C_{23} = (-1)^{2+3}(M_{23})$

$\ C_{23} = (-1)^{5}(b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12})$

$\ C_{23} = b_{31}b_{12} - b_{11}b_{32}.$

餘因子分解

對一 $n\times n$ 矩陣：

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

其行列式 $\det A$ 可以用餘因子表示：

$\ \det(A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + ... + a_{nj}C_{nj}$

（對第 j 縱行的餘因子分解）

$\ \det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + ... + a_{in}C_{in}$

（對第 i 橫列的餘因子分解）

古典伴隨矩陣

「古典伴隨矩陣」(adjugate matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」，它與逆矩陣的計算有極大的關係。

$A^{-1} = \left ( \frac{1}{\det(A)} \right ) \mathrm{adj}(A)$

將餘因子矩陣

$\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}$

轉置之後，會得到「古典伴隨矩陣」：

$\mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}.$

克萊姆法則

克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式：

$\mathrm{cof}(A)^t A = A\mathrm{cof}(A)^t = \det(A) I_n$

當 $\det A \neq 0$ 時，$A$ 的逆矩陣由下式給出：

$A^{-1} = \dfrac{\mathrm{cof}(A)^t}{\det A}$

此即線性方程組理論中的克萊姆法則。

文獻

• Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部連結

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath