餘因子矩陣

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

線性代數中,餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構,餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式

定義[编辑]

對一個 n \times n 矩陣 A,在 (i,j)子行列式余子式M_{ij} 定義為刪掉 A 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式。令 C_{ij} := (-1)^{i+j} M_{ij},稱為 A(i,j)餘因子代数余子式)。矩陣 \mathrm{cof}(A) := (C_{ij})_{i,j} 稱作 A餘因子矩陣余子矩阵)。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣,記為 \mathrm{adj}(A)

範例[编辑]

考慮三階方陣

B = \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33} \\
\end{bmatrix}

今將計算餘因子 C_{23}。子行列式 M_{23} 是下述矩陣(在 B 中去掉第2橫列與第3縱行)之行列式:

 M_{23} = \begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} & \Box \\
\Box & \Box & \Box \\
b_{31} & b_{32} & \Box \\
\end{vmatrix} 給出  M_{23} = \begin{vmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{31} & b_{32} \\
\end{vmatrix} = b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12}

根據定義得到

\ C_{23} = (-1)^{2+3}(M_{23})
\ C_{23} = (-1)^{5}(b_{11}b_{32} - b_{31}b_{12})
\ C_{23} = b_{31}b_{12} - b_{11}b_{32}.

餘因子分解[编辑]

對一 n\times n 矩陣:

 A = \begin{bmatrix}
    a_{11}  & a_{12} & \cdots &   a_{1n}   \\
    a_{21}  & a_{22} & \cdots &   a_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    a_{n1}  & a_{n2} & \cdots &  a_{nn}
\end{bmatrix}

其行列式 \det A 可以用餘因子表示:

\ \det(A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + ... + a_{nj}C_{nj}
(對第 j 縱行的餘因子分解)
\ \det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + ... + a_{in}C_{in}
(對第 i 橫列的餘因子分解)

古典伴隨矩陣[编辑]

「古典伴隨矩陣」(adjugate matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」,它與逆矩陣的計算有極大的關係。

A^{-1} = \left ( \frac{1}{\det(A)} \right ) \mathrm{adj}(A)


將餘因子矩陣

 \begin{bmatrix}
    C_{11}  & C_{12} & \cdots &   C_{1n}   \\
    C_{21}  & C_{22} & \cdots &   C_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    C_{n1}  & C_{n2} & \cdots &  C_{nn}
\end{bmatrix}

轉置之後,會得到「古典伴隨矩陣」:

 \mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix}
    C_{11}  & C_{21} & \cdots &   C_{n1}   \\
    C_{12}  & C_{22} & \cdots &   C_{n2}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    C_{1n}  & C_{2n} & \cdots &  C_{nn}
\end{bmatrix}.

克萊姆法則[编辑]

克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式:

\mathrm{cof}(A)^t A = A\mathrm{cof}(A)^t = \det(A) I_n

\det A \neq 0 時,A 的逆矩陣由下式給出:

A^{-1} = \dfrac{\mathrm{cof}(A)^t}{\det A}

此即線性方程組理論中的克萊姆法則。

文獻[编辑]

  • Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部連結[编辑]