初等矩阵

线性代数中，初等矩阵是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。

操作

初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的行/列变换。

互换行/列：

$R_i \leftrightarrow R_j$

把某行/列乘以一非零常数：

$kR_i \rightarrow R_i,\$其中$k \neq 0$

把第 i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍：

$R_i + kR_j \rightarrow R_i$

初等矩阵即是将上述3种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某行的变换，列变换可以类推。

行互换

这一变换 T_ij，将一单位矩阵的第 i 行的所有元素与第 j 行互换。

$T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad$

性质

• 逆矩阵即自身：$T_{ij}^{-1} = T_{ij}$。
• 因为单位矩阵的行列式为1，故$|T_{ij}|=-1$。 与其他相同大小的方阵 A 亦有一下性质： $|T_{ij}A|=-|A|$。

把某行乘以一非零常数

这一变换 T_i(m)，将第 i 行的所有元素乘以一非零常数 m。

$T_i(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & m & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad$

性质

• 逆矩阵为 $T_{i}(m)^{-1} = T_{i}(\frac{1}{m})$。
• 此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵。
• 其行列式 $|T_{i}(m)|=m$。故对于一等大方阵 A 有 $|T_{i}(m)A|=m|A|$。

把第 i 行加上第 j 行的 m 倍

这一变换 T_ij(m)，将第 i 行加上第 j 行的 m 倍。

$T_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & m & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}$

性质

• 逆矩阵具有性质 $T_{ij}(m)^{-1}=T_{ij}(-m)$。
• 此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵。
• $|T_{ij}(m)|=1$。故对于一等大方阵 A有：$|T_{ij}(m)A| = |A|$。

应用

在解线性方程组中的应用

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。

用于求解一个矩阵的逆矩阵

有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

另见

• 高斯消元法
• 线性方程组
• 矩阵

参考

• Axler, Sheldon Jay, Linear Algebra Done Right. 2nd, Springer-Verlag. 1997, ISBN 0387982590 
• Lay, David C., Linear Algebra and Its Applications. 3rd, Addison Wesley. August 22, 2005, ISBN 978-0321287137 
• Meyer, Carl D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). February 15, 2001, ISBN 978-0898714548 
• Poole, David, Linear Algebra: A Modern Introduction. 2nd, Brooks/Cole. 2006, ISBN 0-534-99845-3 
• Anton, Howard, Elementary Linear Algebra (Applications Version). 9th, Wiley International. 2005 
• Leon, Steven J., Linear Algebra With Applications. 7th, Pearson Prentice Hall. 2006