线性微分方程

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

线性微分方程是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程

 \mathcal{L}(y) = f \qquad \ldots \; \; (*)

其中方程左侧的微分算子\mathcal{L}线性算子y是要解的未知函数,方程的右侧是一个已知函数。如果f(x) = 0,那么方程(*)的解的线性组合仍然是解,所有的解构成一个向量空间,称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当f不是零函数时,所有的解构成一个仿射空间,由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程,也可以是偏微分方程

简介[编辑]

线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间,因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为:

 \mathcal{L}(y) = f \qquad \ldots \; \; (*)

其中的\mathcal{L}是一个线性的微分算子,也就是说,设有两个函数y_1y_2以及两个常数\lambda_1\lambda_2,那么:

 \mathcal{L}(\lambda_1 y_1 +\lambda_2 y_2) = \lambda_1 \mathcal{L}(y_1) + \lambda_2 \mathcal{L}(y_2).

如果f是零函数,那么给定若干个方程(*)的解函数:y_1, y_2 , \cdots , y_m以及同样多的常数系数:\lambda_1, \lambda_2 , \cdots , \lambda_m,线性组合\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 + \cdots + \lambda_m y_m仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间V,称为方程的解空间。如果f不是零函数,那么考虑相应的齐次线性微分方程:

 \mathcal{L}(y) = 0 \qquad \ldots \; \; (**)

y^s是方程(*)的一个解函数。y方程(**)的任意一个解函数。则它们的和y^s + y仍然是(*)的解函数。另一方面,给定方程(*)的两个解函数:y_1^sy_2^s。则它们的差y_1^s - y_2^s会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成y^s + y, \; y \in V的形式。其中V是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间V',并且V' = y^s + V

常系数齐次线性微分方程[编辑]

一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的,他意识到这类方程的解都具有e^{z x}的形式,其中z是某个复数。因此,对于以下方程:

\frac {d^{n}y} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n}y = 0

我们设y=e^{z x},可得:

z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.

两边除以e zx,便得到了一个n次方程:

F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,

这个方程F(z) = 0称为特征方程

一般地,把微分方程中以下的项

\frac {d^{k}y} {dx^{k}}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).

换成zk,便可得到特征方程。这个方程有n个解:z1, ..., zn。把任何一个解代入e zx,便可以得到微分方程的一个解:e zix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理,因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复,我们便得到了微分方程的n个解。可以证明,这些解是线性独立的。于是,微分方程的通解就是y = C1e z1x + C2e z2x + …… + Cne znx,其中C1C2、……、Cn是常数。

以上讨论了n个根全不相同的情形。如果这n个根中有两个(或多个)相同,用上面的方法就无法得出n个线性独立的解。但是,可以验证,如果z是特征方程的 mz 重根,那么,对于 k\in\{0,1,\dots,m_{z}-1\} \,y=x^ke^{zx} \, 就是微分方程的一个解。对每个特征根 z,都能得到 mz 个解,所有这些解的线性组合就是方程的通解。

一般地,如果微分方程的系数Ai都是实数,那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根,那么它一定是成对的,也就是说,如果a + bi是特征方程的根,那么a - bi也是一个根。于是,y = e (a + bi)xy = e (a - bi)x都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解,我们可以把这两个解相加,再除以2,利用欧拉公式,便得到一个实数形式的解:y = e axcosbx。如果把两个解相减,再除以2i,便得到另一个实数形式的解:y = e axsinbx。于是,y = C1e axcosbx + C2e axsinbx就是微分方程的通解。

例子[编辑]

求微分方程y''-4y'+5y=0 \,的通解。特征方程是z^2-4z+5=0 \,,它的根是2+i和2−i。于是,y= C_1 e^{2x} \cos{x} + C_2 e^{2x} \sin{x} 就是微分方程的通解。

常系数非齐次线性微分方程[编辑]

欲得到非齐次线性微分方程的通解,我们首先求出对应的齐次方程的通解,然后用待定系数法常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解,把它们相加,就是非齐次方程的通解。

待定系数法[编辑]

考虑以下的微分方程:

\frac {dy} {dx} = y + e^{2x}. \!

对应的齐次方程是:

\frac {dy} {dx} = y.

它的通解是:

y = c e^x. \!

由于非齐次的部分是(e^{2x}),我们猜测特解的形式是:

y_p = A e^{2x}.\!

把这个函数以及它的导数代入微分方程中,我们可以解出A

\frac{d}{dx} \left( Ae^{2x} \right) = A e^{2x} + e^{2x} \!
2 A e^{2x} = A e^{2x} + e^{2x} \!
2 A = A + 1\,\!
A = 1.\,\!

因此,原微分方程的解是:

y = c e^x +  e^{2 x}. \! (c \in R)

常数变易法[编辑]

假设有以下的微分方程:

 y^{\prime\prime} + py^{\prime} + qy = f(x)

我们首先求出对应的齐次方程的通解\ y = C_1 y_1 + C_2 y_2,其中C1C2是常数,y1y2x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解,方法是把齐次方程的通解中的常数C1C2换成x的未知函数u1u2,也就是:

y = u1y1 + u2y2。(1)

两边求導數,可得:

y' = u1' y1 + u2' y2 + u1y1' + u2y2'。

我们把函数u1u2加上一条限制:

u1' y1 + u2' y2 = 0。(4)

于是:

y ' = u1y1' + u2y2'。(2)

两边再求導數,可得:

y" = u1' y1' + u2' y2' + u1y1" + u2y2"。(3)

把(1)、(2)、(3)代入原微分方程中,可得:

u1' y1' + u2' y2' + u1y1" + u2y2" + pu1y1' + pu2y2' + qu1y1 + qu2y2 = f(x)。

整理,得:

u1' y1' + u2' y2' + (u1y1" + pu1y1' + qu1y1) + (u2y2" + pu2y2' + qu2y2) = f(x)。

由于y1y2都是齐次方程的通解,因此(u1y1" + pu1y1' + qu1y1)和(u2y2" + pu2y2' + qu2y2)都变为零,故方程化为:

u1' y1' + u2' y2' = f(x)。(5)

(4)和(5)联立起来,便得到了一个u1'和u2'的方程组。解这个方程组,便可得到u1'和u2'的表达式;再积分,便可得到u1u2的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地,有:

u'_j=(-1)^{n+j}\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)_{0 \choose f}}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}.

其中W表示朗斯基行列式

变系数线性微分方程[编辑]

n阶的变系数微分方程具有以下形式:

p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x).

一个例子是柯西-欧拉方程

x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0.

变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解,但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程:

\ Dy(x) + f(x) y(x) = g(x).

这个方程可以用积分因子求解,方法是把两边乘以e^{\int f(x)\,dx}

 Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx},

乘法定则,可以简化为:

 D (y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}

两边积分,得:

 y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c ~,
 y(x) = {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}} ~.

也就是说,一阶线性微分方程y'(x) + p(x) y(x) = r(x)的解是:

y=e^{-a(x)}\left(\int r(x) e^{a(x)}\, dx + \kappa\right)

其中\kappa是积分常数,且

a(x)=\int{p(x)\,dx}.

例子[编辑]

考虑以下一阶线性微分方程:

\frac{dy}{dx} + b y = 1.

p(x) = b,r(x) = 1,因此微分方程的解为:

y(x) = e^{-bx} \left( e^{bx}/b+ C \right) = 1/b + C e^{-bx} .

拉普拉斯变换解微分方程[编辑]

应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。

首先有以下关系:

\mathcal{L}\{f'\}
  = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\{f^{(n)}\} 
  = s^n \mathcal{L}\{f\} - \Sigma_{i = 1}^{n}s^{n - i}f^{(i - 1)}(0).

有如下微分方程:

\sum^n_{i=0}a_if^{(i)}(t)=\phi(t).

该方程可变换为:

\sum^n_{i=0}a_i\mathcal{L}\{f^{(i)}(t)\}=\mathcal{L}\{\phi(t)\}

则:

\mathcal{L}\{f(t)\}={\mathcal{L}\{\phi(t)\}+\sum^n_{i=1}a_i\sum^i_{j=1}s^{i-j}f^{(j-1)}(0) \over \sum^n_{i=0}a_is^i}.

其中 f^{(k)}(0) 是初始条件。

f(t) 通过拉普拉斯反变换 \mathcal{L}\{f(t)\} 求得。


参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.