凸集

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凸集
非凸集(凹集)

点集拓扑学欧几里得空间中,凸集(convex set)是一個點集合,其中每兩點之間的直线點都落在該點集合中。

凸集實例[编辑]

  • 區間實數的凸集。
  • 圆盘是凸集。但是不是凸集,因為它是中空的。
  • 多邊形是歐幾理得平面上的凸集,它們的每隻角都小於180度。
  • 单纯形是凸集,對於單純形的顶点集合來說,單純形是它們的最小凸集,所以單純形也是一個凸包
  • 定宽曲线是凸集。

凸集的延森不等式定義[编辑]

在度量幾何中,延森不等式為凸集給出一個最健全的解釋,而不必牽涉到二階導數

假設S為在實或複向量空間的集。若對於所有x,y \in S和所有t \in [0,1],有(1-t)x + ty \in S,則稱S凸集

簡單而言,就是S中的任何兩點之間的直線段都屬於S。因此,凸集是一個連通空間

特殊凸集[编辑]

特殊凸集是特別給了名稱的凸集,它們可能是具有額外性質的凸集,或是在某種定義下的凸集(非一般定義中的凸集)。

具有額外性質的凸集[编辑]

  • 絕對凸集:若S既是凸集又是平衡集,則稱S絕對凸的。

在某種定義下的凸集[编辑]

性質[编辑]

S是凸集,對於任意u_1,u_2,\ldots,u_r \in S,及所有非負數\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r滿足\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_r=1,都有 \sum_{k=1}^r\lambda_k u_k \in S。這個向量稱為u_1,u_2,\ldots,u_r凸組合

非歐幾何的凸集[编辑]

對於非歐平面,可用測地線來取代在歐幾理德凸集的定義內直線段。

參見[编辑]