凸集

凸集

非凸集（凹集）

設$S$為在實或複向量空間的集。若對於所有$x,y \in S$和所有$t \in [0,1]$，有$(1-t)x + ty \in C$，則稱$S$為凸集。簡單而言，就是$S$中的任何兩點之間的直線段都屬於$S$。凸集是連通的。

對於非歐平面，可用測地線來取代在歐幾理德凸集的定義內直線段。

若$S$既是凸集又是平衡集，則稱$S$為絕對凸的。

實數的凸集是區間。歐幾理德平面上的凸集有每隻角都少於180度的多邊形、一些曲線如常寬圖形等。

若集$S$中存在一點$x_0$，使得由$x_0$到$S$中任何一點的直線段都屬於$S$，則稱$S$為星形域或星形凸集。星形域是簡單連通的。

性質

若$S$是凸集，對於任意$u_1,u_2,\ldots,u_r \in S$，及所有非負數$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r$滿足$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_r=1$，都有 $\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k \in S$。這個向量稱為$u_1,u_2,\ldots,u_r$的凸組合。

參見

• 凸函數
• 凸包