双线性映射

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数学中,一个双线性映射是由两个矢量空间上的元素生成第三个矢量空间上一个元素的函数,并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。

定义[编辑]

V, WX 是在同一个基础 F 上的三个向量空间。双线性映射是函数

B : V × WX

使得对于任何 Ww, 映射

vB(v, w )

是从 VX线性映射,并且对于任何 V 中的 v,映射

wB(v, w )

是从 WX 的线性映射。

换句话说,如果保持双线性映射的第一个参数固定,并留下第二个参数可变,结果的是线性算子,如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果 V = W 并且有 B(v,w ) = B(w,v ) 对于所有 V 中的 v,w,则我们称 B对称的。

当这里的 XF 的时候,我们称之为双线性形式,它特别有用(参见例子标量积内积二次形式)。

如果使用在交换环 R 上的替代向量空间,定义不需要任何改变。还可容易的推广到 n 元函数,这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环 R 和右模 MR 与左模 RN 的情况,我们可以定义双线性映射 B : M × NT,这里的 T 是阿贝尔环,使得对于任何 N 中的 nmB(m, n ) 是群同态,而对于任何 M 中的 mnB(m, n ) 是群同态,并还满足

B(mt, n ) = B(m, tn )

对于所有的 M 中的 mNnR 中的 t

性质[编辑]

定义的V,W,X 是有限维的,则 L(V,W;X) 也是。对于 X=F 就是双线性形式,这个空间的维度是 dimV×dimW (尽管线性形式的空间 L(V×W;K) 的维度是 dimV+dimW )。要看出来,选择 VW;接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵 B(e_i,f_j),反之亦然。现在,如果 X 是更高维的空间,我们明显的有 dimL(V 如果 V,W,X 是有限维的,则 L(V,W;X) 也是。对于 X=F 就是双线性形式,这个空间的维度是 dimV×dimW (尽管线性形式的空间 L(V×W;K) 的维度是 dimV+dimW )。要看出来,选择 VW;接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵 B(e_i,f_j),反之亦然。现在,如果 X 是更高维的空间,我们明显的有 dimL(V,W;X)=dimV×dimW×dimX

例子[编辑]

  • 矩阵乘法是双线性映射 M(m,n) × M(n,p) → M(m,p)。
  • 如果在实数 R 上的向量空间 V 承载了内积,则内积是双线性映射 V × VR
  • 一般的说,对于在域 F 上的向量空间 V,在 V 上的双线性形式同于双线性映射 V × VF
  • 如果 V 是有对偶空间 V* 的向量空间,则应用算子 b(f, v) = f(v) 是从 V* × V 到基础域的双线性映射。
  • VW 是在同一个基础域 F 上的向量空间。如果 fV* 的成员而 gW* 的成员,则 b(v, w) = f(v)g(w) 定义双线性映射 V × WF
  • R3叉积是双线性映射 R3 × R3R3
  • B : V × WX 是双线性映射,而 L : UW线性算子,则 (v, u) → B(v, Lu) 是在 V × U 上的双线性映射。
  • 零映射,定义于 B(v,w) = o 对于所有 V×W 中的 (v,w),是从 V×WX 的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上,如果 (v,w)∈V×W,则 B(v,w)= B(v,o)+B(o,w)=o+o

参见[编辑]