双线性映射

在数学中，双线性映射是在它的两个参数上都是线性映射的函数。这种映射的一个例子是整数的乘法。

定义

设 V, W 和 X 是在同一个基础域 F 上的三个向量空间。双线性映射是函数

B : V × W → X

使得对于任何 W 中 w 映射

v ↦ B(v, w )

是从 V 到 X 的线性映射，并且对于任何 V 中的 v，映射

w ↦ B(v, w )

是从 W 到 X 的线性映射。

换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果的是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果 V = W 并且有 B(v,w ) = B(w,v ) 对于所有 V 中的 v,w，则我们称 B 是对称的。

当这里的 X 是 F 的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。

如果使用在交换环 R 上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到 n 元函数，这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环 R 和右模 M_R 与左模 _RN 的情况，我们可以定义双线性映射 B : M × N → T，这里的 T 是阿贝尔环，使得对于任何 N 中的 n，m ↦ B(m, n ) 是群同态，而对于任何 M 中的 m，n ↦ B(m, n ) 是群同态，并还满足

B(mt, n ) = B(m, tn )

对于所有的 M 中的 m，N 中 n 和 R 中的 t。

性质

定义的第一个直接推论是 $B(x,y)=\vec{0}$，只要 $x=\vec{0}$ 或 $y=\vec{0}$。(可以从写零向量 $\vec{0}$ 为 $0\cdot\vec{0}$ 并通过线性把标量 0 移到外边在 B 中前面看出来。)

所有双线性映射的集合 L(V,W;X) 是从 V×W 到 X 的所有映射的空间(也就是向量空间，模)的线性子空间。

如果 V,W,X 是有限维的，则 L(V,W;X) 也是。对于 X=F 就是双线性形式，这个空间的维度是 dimV×dimW (尽管线性形式的空间 L(V×W;K) 的维度是 dimV+dimW )。要看出来，选择 V 和 W 的基；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵 $B(e_i,f_j)$，反之亦然。现在，如果 X 是更高维的空间，我们明显的有 dimL(V,W;X)=dimV×dimW×dimX。

例子

• 矩阵乘法是双线性映射 M(m,n) × M(n,p) → M(m,p)。
• 如果在实数 R 上的向量空间 V 承载了内积，则内积是双线性映射 V × V → R。
• 一般的说，对于在域 F 上的向量空间 V，在 V 上的双线性形式同于双线性映射 V × V → F。
• 如果 V 是有对偶空间 V* 的向量空间，则应用算子 b(f, v) = f(v) 是从 V* × V 到基础域的双线性映射。
• 设 V 和 W 是在同一个基础域 F 上的向量空间。如果 f 是 V* 的成员而 g 是 W* 的成员，则 b(v, w) = f(v)g(w) 定义双线性映射 V × W → F。
• 在 R³ 中叉积是双线性映射 R³ × R³ → R³。
• 设 B : V × W → X 是双线性映射，而 L : U → W 是线性算子，则 (v, u) → B(v, Lu) 是在 V × U 上的双线性映射。
• 零映射，定义于 $B(v,w) = o$ 对于所有 V×W 中的 (v,w)，是从 V×W 到 X 的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上，如果 (v,w)∈V×W，则 $B(v,w)= B(v,o)+B(o,w)=o+o$ 。

参见

• 张量积
• 多线性映射
• 半双线性形式
• 双线性滤波