双线性映射

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在數論中,一個雙線性映射是由兩個向量空間上的元素,生成第三個向量空間上一個元素之函數,並且該函數對每個參數都是線性的。例如矩陣乘法就是一個例子。

定义[编辑]

V, WX是在同一个基础F上的三个向量空间。双线性映射是函数

B : V×WX

使得对于任何Ww,映射

vB(v, w )

是从VX线性映射,并且对于任何V中的v,映射

wB(v, w )

是从WX的线性映射。

换句话说,如果保持双线性映射的第一个参数固定,并留下第二个参数可变,结果的是线性算子,如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果V = W并且有B(v,w ) = B(w,v )对于所有V中的v,w,则我们称B对称的。

当这里的XF的时候,我们称之为双线性形式,它特别有用(参见例子标量积内积二次形式)。

如果使用在交换环R上的替代向量空间,定义不需要任何改变。还可容易的推广到n元函数,这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环R和右模MR与左模RN的情况,我们可以定义双线性映射B : M×NT,这里的T是阿贝尔环,使得对于任何N中的nmB(m, n )是群同态,而对于任何M中的mnB(m, n )是群同态,并还满足

B(mt, n ) = B(m, tn )

对于所有的M中的mNnR中的t

性质[编辑]

定义的V,W,X是有限维的,则L(V,W;X)也是。对于X=F就是双线性形式,这个空间的维度是dimV×dimW(尽管线性形式的空间L(V×W;K)的维度是dimV+dimW)。要看出来,选择VW;接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵B(e_i,f_j),反之亦然。现在,如果X是更高维的空间,我们明显的有dimL(V 如果V,W,X是有限维的,则L(V,W;X)也是。对于X=F就是双线性形式,这个空间的维度是dimV×dimW(尽管线性形式的空间L(V×W;K)的维度是dimV+dimW)。要看出来,选择VW;接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵B(e_i,f_j),反之亦然。现在,如果X是更高维的空间,我们明显的有dimL(V,W;X)=dimV×dimW×dimX

例子[编辑]

  • 矩阵乘法是双线性映射M(m,n)×M(n,p) → M(m,p)。
  • 如果在实数R上的向量空间V承载了内积,则内积是双线性映射V×VR
  • 一般的说,对于在域F上的向量空间V,在V上的双线性形式同于双线性映射V×VF
  • 如果V是有对偶空间V*的向量空间,则应用算子b(f, v) = f(v)是从VV到基础域的双线性映射。
  • VW是在同一个基础域F上的向量空间。如果fV* 的成员而gW* 的成员,则b(v, w) = f(v)g(w)定义双线性映射V×WF
  • R3叉积是双线性映射R3×R3R3
  • B : V×WX是双线性映射,而L : UW线性算子,则(v, u) → B(v, Lu)是在V×U上的双线性映射。
  • 零映射,定义于B(v,w) = o对于所有V×W中的(v,w),是从V×WX的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上,如果(v,w)∈V×W,则B(v,w)= B(v,o)+B(o,w)=o+o

参见[编辑]