閉圖像定理

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閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理。

[编辑] 敘述

設 $X$ ， $Y$ 為巴拿赫空間， $T:X \to Y$ 為線性算子。定義 $T$ 的圖像為 $X \times Y$ 的子空間

$\Gamma (T) = \{(x,T(x))\in X\times Y \vert x \in X\}$ 。

賦予 $X \times Y$ 範數 $\|(x,y) \|_{X\times Y} = \|x \|_X + \| y \|_Y$ ，使得 $X \times Y$ 成為巴拿赫空間。那麼，這定理指 $T$ 是連續的（與有界等價）當且僅當 $Γ(T)$ 在 $X \times Y$ 內是閉集。

[编辑] 證明

閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。

$Γ(T)$ 是閉集的充分必要條件是如果序列 $\{(x_n,y_n)\}_n\subset \Gamma(T)$ （即對任意 $n$ 有 $y n = T (x n)$ ），而 $(x_n,y_n) \to (x,y)$ ，那麼 $(x,y)\in \Gamma(T)$ ， $y = T (x)$ 。如果 $T$ 是連續的，從連續性立刻可知 $Γ(T)$ 是閉集，因為連續性是更強的條件：如果 $x_n \to x$ ，則 $T(x_n)\to T(x)$ 。