閉圖像定理

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閉圖像定理數學泛函分析的一條定理。

敘述[编辑]

XY巴拿赫空間T:X \to Y線性算子。定義T圖像X \times Y的子空間

\Gamma (T) = \{(x,T(x))\in X\times Y \vert x \in X\}

賦予X \times Y範數\|(x,y) \|_{X\times Y} = \|x \|_X + \| y \|_Y,使得X \times Y成為巴拿赫空間。那麼,這定理指T連續的(與有界等價)當且僅當\Gamma (T) X \times Y內是閉集。

證明[编辑]

閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。

\Gamma (T) 是閉集的充分必要條件是如果序列\{(x_n,y_n)\}_n\subset \Gamma(T)(即對任意ny_n=T(x_n)),而(x_n,y_n) \to (x,y),那麼(x,y)\in \Gamma(T)y=T(x)。如果T是連續的,從連續性立刻可知\Gamma (T) 是閉集,因為連續性是更強的條件:如果x_n \to x,則T(x_n)\to T(x)

如果\Gamma (T) 是閉集,可以在\Gamma (T) 定義線性算子

\pi_1: \Gamma (T) \to X,\ (x,y) \mapsto x
\pi_2: \Gamma (T) \to Y,\ (x,y) \mapsto y

顯然\|\pi_2(x,y) \|_Y = \|y\|_Y \leq \|(x,y) \|_{X\times Y},因此\pi_2是有界算子。

\Gamma (T)是巴拿赫空間X\times Y中的閉子空間,所以\Gamma (T)是巴拿赫空間。X也是巴拿赫空間,\pi_1雙射,從而由開映射定理的系可知,其逆\pi_1^{-1}:X \to \Gamma (T)為有界算子。

因為T = \pi_2 \circ \pi_1^{-1},故T也是有界的。

推論[编辑]

從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。