柯西-施瓦茨不等式

數學上，柯西-施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，是一條很多場合都用得上的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。不等式以奧古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

叙述

若x和y是實或複內積空間的元素，x与y的内积记作$\langle x,y\rangle$，那麼

$\big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$。

等式成立當且僅當x和y線性相關。

柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果，是內積為連續函數，甚至是满足1阶利普希茨条件的函数。

柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用範數的寫法表示：

$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\,$。

柯西—施瓦茨不等式的向量形式 $\vec A =(a_1,a_2) , \vec B =(b_1,b_2)$：

$|\vec A \cdot \vec B |\leq |\vec A||\vec B|$

等號成立於$\vec A \|\vec B$

柯西—施瓦茨不等式的一般形式

$(a_1 b_1+a_2 b_2)^2\leq(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$

等號成立於$a_1 b_2=a_2 b_1$

特例

• 對歐幾里得空間Rⁿ，有

$\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)$。

等式成立時：

$\frac {x_1}{y_1} = \frac {x_2}{y_2} = \cdots = \frac {x_n}{y_n}.$

• 對平方可積的複值函數，有

$\left|\int f^*(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx$。

這兩例可更一般化為赫爾德不等式。

• 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至等式

$\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2$。

这是恒等式

$\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)-\left(\sum_{1\le i < j\le n}(x_i y_j - x_j y_i)^2\right)$

在n=3 时的特殊情况。

證明

• 實內積空間的情形：

注意到y = 0時不等式顯然成立，所以可假設$\langle y,y\rangle$非零。對任意$\lambda \in \mathbb{R}$，可知

$0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle$

$= \langle x-\lambda y,x \rangle - \lambda \langle x-\lambda y,y \rangle$

$= (\langle x,x\rangle - \lambda \langle x,y \rangle)- \lambda (\langle x,y \rangle - \lambda \langle y,y \rangle)$

$= \|x\|^2- \lambda \langle x,y \rangle- \lambda \langle x,y \rangle + \lambda^2 \|y\|^2$。

現在取值$\lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^{-2}$，代入後得到

$0 \leq \|x\| ^2 - \langle x,y \rangle^2 \cdot \|y\|^{-2}$。

因此有

$\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\|$。

• 複內積空間的情形

證明類上。對任意$\lambda \in \mathbb{C}$，可知

$0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle$

$= \langle x-\lambda y,x \rangle - \overline\lambda \langle x-\lambda y,y \rangle$

$= (\|x\|^2 - \lambda \overline{\langle x,y \rangle}) - \overline\lambda (\langle x,y \rangle - \lambda^2 \|y \|^2)$。

現在取值$\lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^{-2}$，代入後得到

$0 \leq \|x\|^2 - \big| \langle x,y \rangle \big|^2 \cdot \|y\|^{-2}$，

因此有

$\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\|$。

參見

• 三角不等式
• 內積空間