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柯西-施瓦茨不等式

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數學上,柯西-施瓦茨不等式,又稱施瓦茨不等式柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式,是一條很多場合都用得上的不等式;例如線性代數矢量數學分析無窮級數和乘積的積分,和概率論方差協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广,如赫尔德不等式

不等式以奧古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。

叙述[编辑]

柯西-施瓦茨不等式叙述,对于一个內積空間所有向量xy

\big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle

其中\langle\cdot,\cdot\rangle表示內積,也叫点积。等价地,将两边开方,引用向量的范數,不等式可写为

 |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\,

另外,等式成立當且僅當xy線性相關(或者在几何上,它们是平行的,或其中一个向量的模为0)。

x_1,\ldots, x_n\in\mathbb Cy_1,\ldots, y_n\in\mathbb C有虚部,内积即为标准内积,用拔标记共轭复数那么这个不等式可以更明确的表述为

|x_1 \bar{y}_1 + \cdots + x_n \bar{y}_n|^2 \leq (|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2) (|y_1|^2 + \cdots + |y_n|^2).

柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果,是內積為連續函數,甚至是满足1阶利普希茨条件的函数。

特例[编辑]

\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)

等式成立時:

\frac {x_1}{y_1} = \frac {x_2}{y_2} = \cdots = \frac {x_n}{y_n}.

也可以表示成

(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2

證明則須考慮一個關於t的一個一元二次方程式 (x_1 t + y_1)^2 + \cdots + (x_n t + y_n)^2 = 0

很明顯的,此方程式無實數解或有重根,故其判別式D \leq 0

注意到

(x_1 t + y_1)^2 + \cdots + (x_n t + y_n)^2 = 0

(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2) t^2 + 2 (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n) t + (y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) = 0

 D = 4 (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2 - 4 (x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2) (y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \leq 0

(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2

(x_1 t + y_1)^2 + \cdots + (x_n t + y_n)^2 = 0

(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2

而等號成立於判別式D=0

也就是此時方程式有重根,故

\frac {x_1}{y_1} = \frac {x_2}{y_2} = \cdots = \frac {x_n}{y_n}.

  • 對平方可積的複值函數,有
\left|\int f^*(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx

這兩例可更一般化為赫爾德不等式

\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2
这是
\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)-\left(\sum_{1\le i < j\le n}(x_i y_j - x_j y_i)^2\right)
n=3 时的特殊情况。

證明[编辑]

  • 實內積空間的情形:
注意到y = 0時不等式顯然成立,所以可假設\langle y,y\rangle非零。對任意 \lambda \in \mathbb{R} ,可知
 0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle
 = \langle x-\lambda y,x \rangle - \lambda \langle x-\lambda y,y \rangle
 = (\langle x,x\rangle - \lambda \langle x,y \rangle)- \lambda (\langle x,y \rangle + \lambda \langle y,y \rangle)
 = \|x\|^2- \lambda \langle x,y \rangle- \lambda \langle x,y \rangle + \lambda^2 \|y\|^2
現在取值 \lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^{-2},代入後得到
 0 \leq \|x\| ^2 - \langle x,y \rangle^2 \cdot \|y\|^{-2}
因此有
 \big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\|
  • 複內積空間的情形
證明類上。對任意 \lambda \in \mathbb{C} ,可知
 0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle
 = \langle x-\lambda y,x \rangle -\overline\lambda \langle x-\lambda y,y \rangle
 = (\|x\|^2 - \lambda \overline{\langle x,y \rangle}) - \overline\lambda (\langle x,y \rangle + \lambda^2 \|y \|^2)
現在取值 \lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^{-2},代入後得到
0 \leq \|x\|^2 - \big| \langle x,y \rangle \big|^2 \cdot \|y\|^{-2}
因此有
 \big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\|

參見[编辑]