凹凸性

微积分学

$\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

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凹凸性，为数学图表的一种表现特征。

内容

• 如果函数f(x)在区间(a,b)内可导，它的曲线位于它每一点切线的下方，那么就说曲线y=f(x)在区间(a,b)上是（向上）凸的。
• 如果函数f(x)在区间(a,b)内可导，它的曲线位于它每一点切线的上方，那么就说曲线y=f(x)在区间(a,b)上是（向上）凹的。

定理

1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，(a,b)内可导，
   1. 如果在区间(a,b)上f'(x)单调递增，那么f(x)在[a,b]上是凹的。
   2. 如果在区间(a,b)上f'(x)单调递减，那么f(x)在[a,b]上是凸的。
2. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，(a,b)内二阶可导，
   1. 如果在区间(a,b)上f"(x)>0，那么f(x)在[a,b]上是凹的。
   2. 如果在区间(a,b)上f"(x)<0，那么f(x)在[a,b]上是凸的。