# 积分符号内取微分

$F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt$,在$\,x_0\leq x\leq x_1\,$

$f(x,t)\,$$\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)\,$$t\,$$x\,$$(t,x)\,$ 平面连续, $a(x)\leq t\leq b(x)\,$, $x_0\leq x\leq x_1\,$, 且若对于$x_0\leq x\leq x_1\,$, $a(x)\,$$b(x)\,$ 及其导数连续，那么

\begin{align} \frac{d}{dx}\,F(x) &= \left(\frac{\partial F}{\partial b}\right)\frac{db}{dx} - \left(\frac{\partial F}{\partial a}\right)\frac{da}{dx} + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\; dt \\ &= f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\, \end{align}
$\,x_0\leq x\leq x_1\,\,$.

## 高维情况

$\frac{d}{dt} \int_{D(t)} F(\vec{\textbf x}, t) \,dV = \int_{D(t)} \frac{\partial}{\partial t} \,F(\vec{\textbf x}, t)\,dV + \int_{\partial D(t)} \,F(\vec{\textbf x}, t)\, \vec{\textbf v} \cdot \vec{\textbf n} \,dA,\,$

## 定理的证明

$\frac{\partial}{\partial b} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right ) = f(b), \qquad \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right )= -f(a).$

\begin{align} \frac{\partial}{\partial b} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right ) &= \lim_{\Delta b \to 0} \frac{1}{\Delta b} \left[ \int_a^{b+\Delta b} f(x)\,\mathrm{d}x - \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right] \\ &= \lim_{\Delta b \to 0} \frac{1}{\Delta b} \int_b^{b+\Delta b} f(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \lim_{\Delta b \to 0} \frac{1}{\Delta b} \left[ f(b) \Delta b + \mathcal{O}\left(\Delta b^2\right) \right] \\ &= f(b) \\ \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right )&= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{1}{\Delta a} \left[ \int_{a+\Delta a}^b f(x)\,\mathrm{d}x - \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \right] \\ &= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{1}{\Delta a} \int_{a+\Delta a}^a f(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{1}{\Delta a} \left[ -f(a)\, \Delta a + \mathcal{O}\left(\Delta a^2\right) \right]\\ &= -f(a). \end{align}

$\psi (\alpha) = \int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x.$
$\psi$ 可以對 $\alpha$ 在积分符号内取微分,即
$\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}\alpha}=\int_a^b\frac{\partial}{\partial\alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x.\,$

$|f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)|<\varepsilon.$

\begin{align} \Delta\psi &=\psi (\alpha+\Delta \alpha)-\psi (\alpha) \\ &=\int_a^b f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x - \int_a^b f(x,\alpha)\; \mathrm{d}x \\ &=\int_a^b \left (f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha) \right )\;\mathrm{d}x \\ &\leq \varepsilon (b-a) \end{align}

$\forall x \in [a, b] \quad \left|\frac{f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha} - \frac{\partial f}{\partial\alpha}\right|<\varepsilon.$

$\frac{\Delta \psi }{\Delta \alpha}=\int_a^b\frac{f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha}\;\mathrm{d}x = \int_a^b \frac{\partial\,f(x,\alpha)}{\partial \alpha}\,\mathrm{d}x + R$

$|R| < \int_a^b \varepsilon\; \mathrm{d}x = \varepsilon(b-a).$

$\lim_{{\Delta \alpha} \rarr 0}\frac{\Delta\psi }{\Delta \alpha}= \frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}\alpha} = \int_a^b \frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x.\,$

$\int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x=\varphi(\alpha),$

\begin{align} \Delta\varphi &=\varphi(\alpha+\Delta\alpha)-\varphi(\alpha) \\ &=\int_{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x\,-\int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x\, \\ &=\int_{a+\Delta a}^af(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_a^bf(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_b^{b+\Delta b}f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x -\int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x \\ &=-\int_a^{a+\Delta a}\,f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_a^b[f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)]\;\mathrm{d}x+\int_b^{b+\Delta b}\,f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x. \end{align}

$\Delta\varphi=-\Delta a\,f(\xi_1,\alpha+\Delta\alpha)+\int_a^b[f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)]\;\mathrm{d}x+\Delta b\,f(\xi_2,\alpha+\Delta\alpha)$
$=-\Delta a\,f(\xi_1,\alpha+\Delta\alpha)+\psi (\alpha+\Delta\alpha)-\psi(\alpha)+\Delta b\,f(\xi_2,\alpha+\Delta\alpha)$.

$\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}\alpha} = \int_a^b\frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x$

$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\alpha} = \int_a^b\frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x+f(b,\alpha)\frac{\partial b}{\partial \alpha}-f(a,\alpha)\frac{\partial a}{\partial \alpha}.$

## 大众文化

事情是这样的：一天下课之后，他叫我留下。“费曼”，他说，“你上课时话太多了，声音又太大。我知道你觉得这些课太沉闷，现在我给你这本书。以后你坐到后面角落去好好读这本书，等你全弄懂了之后，我才准你讲话。” 　　于是每到上物理课时，不管老师教的是帕斯卡定律或是别的什么，我都一概不理。我坐在教室的角落，念伍兹（woods）著的这本《高等微积分学》。贝德知道我念过一点《实用微积分》，因此他给我这本真正的大部头著作——给大学二三年级学生念的教材。书内有傅立叶级数、贝塞尔函数、行列式、椭圆函数——各种我前所未知的奇妙东西。 　　那本书还教你如何对积分符号内的参数求微分。后来我发现，一般大学课程并不怎么教这个技巧，但我掌握了它的用法，往后还一再地用到它。因此，靠着自修那本书，我做积分的方法往往与众不同。

结果经常发生的是，我在麻省理工或普林斯顿的朋友被某些积分难住，原因却是他们从学校学来的标准方法不管用。如果那是围道积分或级数展开，他们都懂得怎么把答案找出；现在他们却碰壁了。这时我便使出“积分符号内取微分”的方法——这是因为我有一个与众不同的工具箱。当其他人用光了他们的工具，还没法找到解答时，便把问题交给我了！