海涅－康托尔定理

海涅-康托尔定理，以爱德华·海涅和乔治·康托尔命名，说明如果M是一个紧度量空间，则每一个连续函数

f : M → N,

其中N是度量空间，都是一致连续的。

例如，如果f : [a,b] → R是一个连续函数，则它是一致连续的。

证明 [编辑]

假设f在紧度量空间M上连续，但不一致连续，则以下命题

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0$ ，使得对于所有M内的x和y，都有 $d(x,y) < \delta \Rightarrow \rho (f(x) , f(y) ) < \varepsilon$

的否定是：

$\exists \varepsilon_0 > 0$ ，使得 $\forall \delta > 0 , \ \exists x, y \in M$ ，使得 $\ d(x,y) < \delta$ ，且 $\rho (f(x) , f(y) ) \ge \varepsilon_0$ 。

其中d和 $\rho$ 分别是度量空间M和N上的距离函数。

选择两个序列x_n和y_n，使得：

$d(x_n, y_n) < \frac {1}{n}$ ，且 $\rho ( f (x_n), f (y_n)) \ge \varepsilon_0$ 。

由于度量空间是紧致的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，存在两个收敛的子序列（ $x_{n_k}$ 收敛于x₀， $y_{n_k}$ 收敛于y₀），因此：

$d(x_{n_k}, y_{n_k}) < \frac{1}{n_k} \Rightarrow \rho ( f (x_{n_k}), f (y_{n_k})) \ge \varepsilon_0$ 。

但由于f是连续的，且 $x_{n_k}$ 和 $y_{n_k}$ 收敛于相同的点，因此这是不可能的。