海涅-康托尔定理

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海涅-康托尔定理,以爱德华·海涅乔治·康托尔命名,说明如果M是一个度量空间,则每一个连续函数

f : M → N,

其中N是度量空间,都是一致连续的。

例如,如果f : [a,b] → R是一个连续函数,则它是一致连续的。

证明[编辑]

假设f在紧度量空间M上连续,但不一致连续,则以下命题

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 ,使得对于所有M内的xy,都有 d(x,y) < \delta \Rightarrow \rho (f(x) , f(y) ) < \varepsilon

的否定是:

\exists \varepsilon_0 > 0,使得\forall \delta > 0 , \  \exists x, y \in M ,使得\ d(x,y) < \delta,且 \rho (f(x) , f(y) ) \ge \varepsilon_0

其中d\rho分别是度量空间MN上的距离函数

选择两个序列xnyn,使得:

 d(x_n, y_n) < \frac {1}{n},且 \rho ( f (x_n), f (y_n)) \ge \varepsilon_0

由于度量空间是紧致的,根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,存在两个收敛的子序列(x_{n_k}收敛于x0y_{n_k}收敛于y0),因此:

d(x_{n_k}, y_{n_k}) < \frac{1}{n_k} \Rightarrow \rho ( f (x_{n_k}), f (y_{n_k})) \ge \varepsilon_0

但由于f是连续的,且x_{n_k}y_{n_k}收敛于相同的点,因此这是不可能的。

外部链接[编辑]