达布积分

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

实分析中,达布积分是一种定义一个函数的积分的方法,它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的,也就是说,一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的,并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单,并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布(Jean Gaston Darboux)。

区间的分割[编辑]

一个闭区间[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b。每个闭区间[x_i, x_{i+1}]叫做一个子区间。定义\lambda 为这些子区间长度的最大值:\lambda = \max (x_{i+1}-x_i),其中0 \le i \le n - 1

再定义取样分割。一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b后,于每一个子区间中[x_i, x_{i+1}]取出一点 x_i \le t_i \le x_{i+1}\lambda 的定义同上。

精细化分割:设x_0,\ldots,x_n以及t_0,\ldots,t_{n-1}构成了闭区间[a,b]的一个取样分割,y_0,\ldots,y_ms_0,\ldots,s_{m-1}是另一个分割。如果对于任意0 \le i \le n,都存在r(i)使得x_i = y_{r(i)},并存在r(i) \le j \le r(i+1)使得t_i = s_j,那么就把分割:y_0,\ldots,y_ms_0,\ldots,s_{m-1}称作分割x_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1}的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。

达布和[编辑]

f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} 为一个有界函数,又设

P : x_0, \ldots, x_n

是闭区间[a,b]的一个分割。令:

M_i = \sup_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x)
m_i = \inf_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x)
下(绿色)和上(淡紫色)达布和

f在分割P下的上达布和定义为:

U_{f, P} = \sum_{i=1}^n M_i (x_{i}-x_{i-1})

同样的有下达布和的定义:

L_{f, P} = \sum_{i=1}^n m_i (x_{i}-x_{i-1})

f上达布积分指的是所有上达布和的下确界

U_f = \inf\{U_{f,P} : P 是闭区间[a,b]的一个分割\; \}

同样的f下达布积分指的是所有下达布和的上确界

L_f = \sup\{L_{f,P} : P 是闭区间[a,b]的一个分割\; \}

如果U_f=L_f那么f就称作达布可积的,并用\int_a^b{f(t)\,dt}表示,记作f在区间[a,b]的达布积分。

性质[编辑]

  • 对于任何给定的分割,上达布和永远大于等于下达布和。此外,下达布和被限制在以(b-a)为宽,以inf(f)为高的矩形下,占据[a,b]。同样,上达布和被限制在以(b-a)为宽,以sup(f)为高的矩形上。
(b-a)\inf_{x \in [a,b]} f(x) \leq L_{f,P} \leq U_{f,P} \leq (b-a)\sup_{x \in [a,b]} f(x)
  • 下达布和和上达布和满足
\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx  \leq \overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx
  • 对处于(a,b)的任意c
\begin{align}
\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx  &= \underline{\int_{a}^{c}} f(x) \, dx +   \underline{\int_{c}^{b}} f(x) \, dx\\
\overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx  &= \overline{\int_{a}^{c}} f(x) \, dx +   \overline{\int_{c}^{b}} f(x) \, dx
\end{align}
  • 下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令g:[a,b]→R是一个有界函数,则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。
\begin{align}
\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx + \underline{\int_{a}^{b}} g(x) \, dx &\leq \underline{\int_{a}^{b}} f(x) + g(x) \, dx\\ 
\overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx + \overline{\int_{a}^{b}} g(x) \, dx &\geq \overline{\int_{a}^{b}} f(x) + g(x) \, dx 
\end{align}
  • 对于一个常数c ≥ 0 我们有
\begin{align}
\underline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\underline{\int_{a}^{b}} f(x)\\
\overline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\overline{\int_{a}^{b}} f(x)
\end{align}
  • 对于一个常数c ≤ 0 我们有
\begin{align}
\underline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\overline{\int_{a}^{b}} f(x)\\
\overline{\int_{a}^{b}} cf(x) &= c\underline{\int_{a}^{b}} f(x)
\end{align}
  • 考虑函数F:[a,b]→R定义为
 F(x) = \underline{\int_{a}^{x}} f(x) \, dx

那么F利普希茨连续的。当F是用达布积分定义的,一个相似的结论也成立。

例子[编辑]

一个达布可积函数[编辑]

假设我们想证明函数f(x) = x在区间[0,1]上是达布可积的,并且确定它的值。我们需要把区间[0,1]分割为n个等大的子区间,每个区间长度为1/n。我们取n个等大的子区间中一个作为Pn

现在因为f(x) = x在[0,1]上严格单增,在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样,在任意一个特定子区间上的下确界即它的终点。在Pn中第k个子区间的起点是(k-1)/n,终点是k/n。那么在一个分割Pn上的下达布和就是

\begin{align}
L_{f,P_n} &= \sum_{k = 1}^{n} f(x_{k-1})(x_{k} - x_{k-1})\\
         &= \sum_{k = 1}^{n} \frac{k-1}{n} \cdot \frac{1}{n}\\
         &= \frac{1}{n^2} \sum_{k = 1}^{n} [k-1]\\ 
         &= \frac{1}{n^2}\left[ \frac{(n-1)n}{2} \right]
\end{align}

类似地,上达布和为

\begin{align}
U_{f,P_n} &= \sum_{k = 1}^{n} f(x_{k})(x_{k} - x_{k-1})\\
         &= \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n}\\
         &= \frac{1}{n^2} \sum_{k = 1}^{n} k\\ 
         &= \frac{1}{n^2}\left[ \frac{(n+1)n}{2} \right]
\end{align}

由于

\begin{align}
U_{f,P_n} - L_{f,P_n} &= \frac{1}{n}
\end{align}

则对于任意ε > 0,我们得到对于n > 1/ε的任何分割Pn都满足

\begin{align}
U_{f,P_n} - L_{f,P_n} &< \epsilon
\end{align}

得证f是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到

\begin{align}
\int_{0}^{1}f(x) \, dx &= \lim_{n \to \infty} U_{f,P_n} =\lim_{n \to \infty} L_{f,P_n}  = \frac{1}{2}
\end{align}

一个不可积函数[编辑]

如果我们有函数f:[0,1]→R定义为

\begin{align}
f(x) &=
 \begin{cases}
 0, x\in\mathbb{Q} \\
 1, x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}
 \end{cases}
\end{align}

由于有理数和无理数都是R稠密子集,因而断定f在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割P我们有

\begin{align}
L_{f,P} &=\sum_{k = 1}^{n}(x_{k} - x_{k-1})\inf_{x \in [x_{k-1},x_{k}]}f = 0\\
U_{f,P} &=\sum_{k = 1}^{n}(x_{k} - x_{k-1}) \sup_{x \in [x_{k-1},x_{k}]}f = 1
\end{align}

从中我们可以看出上下达布和不等。

黎曼积分的关系[编辑]

对于更精细的分割,上达布和减小,下达布和变大

如果分割P' : y_0,\ldots,y_m比分割P : x_0,\ldots,x_n“精细”,那么有U_{f, P} \ge U_{f, P'} 以及 L_{f, P} \le L_{f, P'}。这是因为P'实际上是将P中的若干个子区间再做分割,而分割后的子区间上f的上(下)确界必然比原来区间的上(下)确界小(大)。(见图)

如果P_1,P_2是同一个区间的两个分割(不一定要一个比另一个“精细”),那么

L_{f, P_1} \le U_{f, P_2}.

所以,

L_f \le U_f

显然,一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说,如果

P = (x_0,\ldots,x_n) \,\!

并且

T = (t_1,\ldots,t_n) \,\!

共同构成区间上的一个取样分割

 x_0 \le t_1 \le x_1\le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n \,\!

(正如黎曼积分的定义中那样),对应PT的黎曼和为 R,就有

L_{f, P} \le R \le U_{f, P}.\,\!

由上可以看出,黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价(见黎曼积分)。如果一个函数f在区间[a,b]的达布积分存在,那么一个对于足够精细的分割,上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0(都趋近于共同的极限),因此比其更为精细的分割,黎曼和将介于上达布和与下达布和之间,于是趋于一个极限。同时,注意到对于一个分割,我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上(下)确界(由确界的定义)。这表明如果黎曼和趋于一个定值,则上下达布和之间的差将趋于0,也就是说达布积分存在。

参见[编辑]