Β函数

Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义：

$\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt \!$

其中$\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,$。

性质

Β函数具有以下對稱性質：

$\Beta(x,y) = \Beta(y,x). \!$

它有许多其它的形式，包括：

$\Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \!$

$\Beta(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0 \!$

$\Beta(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0 \!$

$\Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n}, \!$

$\Beta(x,y) = \prod_{n=0}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1}, \!$

$\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x \sin(\pi x)}, \!$

$\Beta(x,y) = \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{y^{n+1}}{n!(x+n)} \!$

其中$\Gamma\,$是伽玛函数。

就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：

${n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}$

伽玛函数与贝塔函数之间的关系

为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为：

$\Gamma(x)\Gamma(y) = \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv. \!$

现在，设$u \equiv a^2$, $v \equiv b^2$，因此：

$\begin{align} \Gamma(x)\Gamma(y) & {} = 4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,db \\ & {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \,da \,db. \end{align} \!$

利用变量代换$a = r\cos\theta$和$b = r\sin\theta$，可得：

$\begin{align} \Gamma(x)\Gamma(y) & {} = \int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, dr \,d\theta \\ & {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, dr \int_0^{2\pi}\ |(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}| \, d\theta \\ & {} = \frac{1}{2}\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, d(r^2) 4\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,d\theta \\ & {} = \Gamma(x+y) 2\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, d\theta \\ & {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y). \end{align}$

因此，有：

$\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.$

导数

贝塔函数的导数是：

${\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))$

其中$\psi(x)$是双伽玛函数。

估计

斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：

$\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}.$

不完全贝塔函数

不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为：

$\Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!$

当x = 1，上式即化为贝塔函数。

正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：

$I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!$

当a和b是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：

$I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.$

性质

$I_0(a,b) = 0 \,$

$I_1(a,b) = 1 \,$

$I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,$

参见

• 贝塔分布
• 二项分布
• 伽玛函数

参考文献

• M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See §6.2, 6.6, and 26.5）
• W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
• PlanetMath上用拉普拉斯变换来计算贝塔函数的資料。

外部链接

• 贝塔函数计算器
• 不完全贝塔函数计算器
• 正则不完全贝塔函数计算器