Β函数

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Β函数,又称为贝塔函数或第一类欧拉积分,是一个特殊函数,由下式定义:


 \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
\!

其中\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,

性质[编辑]

Β函数具有以下對稱性質:


 \Beta(x,y) = \Beta(y,x).
\!

当x,y是正整数的时候,我们可以从伽马函数定义得到如下式子:


 \Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}
\!

它有许多其它的形式,包括:


 \Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\!

 \Beta(x,y) =
  2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta,
  \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!

 \Beta(x,y) =
  \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,
  \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!

 \Beta(x,y) =
  \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n},
\!

 \Beta(x,y) = \prod_{n=0}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},
\!

 \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =
  \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},
\!

 \Beta(x,y) =
  \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{y^{n+1}}{n!(x+n)}
\!

其中\Gamma\,伽玛函数

就像伽玛函数描述了阶乘一样,我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数

{n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}

伽玛函数与贝塔函数之间的关系[编辑]

为了推出两种函数之间的关系,我们把两个阶乘的乘积写为:


 \Gamma(x)\Gamma(y) =
  \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv.
\!

现在,设u \equiv a^2, v \equiv b^2,因此:

\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
  4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,db \\
& {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \,da \,db.
\end{align}
\!

利用变量代换a = r\cos\thetab = r\sin\theta,可得:

\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
  \int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, dr \,d\theta \\
& {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, dr \int_0^{2\pi}\ |(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}| \, d\theta \\
& {} = \frac{1}{2}\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, d(r^2) 4\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,d\theta \\
& {} = \Gamma(x+y) 2\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, d\theta \\
& {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y).
\end{align}

因此,有:


 \Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

导数[编辑]

贝塔函数的导数是:

{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))

其中\psi(x)双伽玛函数

估计[编辑]

斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式:

\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}.

不完全贝塔函数[编辑]

不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广,把贝塔函数中的定积分不定积分来代替,就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为:

 \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!

x = 1,上式即化为贝塔函数。

正则不完全贝塔函数(或简称正则贝塔函数)由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义:

 I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!

ab是整数时,计算以上的积分(可以用分部积分法),可得:

 I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.

性质[编辑]

 I_0(a,b) = 0 \,
 I_1(a,b) = 1 \,
 I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,

参见[编辑]

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]