分部積分法

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

分部積分法是種積分的技巧。它是由微分乘法定則微積分基本定理推導而來的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式,转化为等价的但易于求出结果的积分形式。

规则[编辑]

假设h(x)\ k(x)\ 是两个连续可导函数。由乘积法则可知

\frac{{\rm{d}}h\!k}{{\rm{d}}x}=\frac{{\rm{d}}h}{{\rm{d}}x}\!k\!+\!h\!\frac{{\rm{d}}k}{{\rm{d}}x}

对上述等式两边求不定积分,得


\begin{align}
h\!k &= \int\frac{{\rm{d}}h}{{\rm{d}}x}\!k\!+\!h\!\frac{{\rm{d}}k}{{\rm{d}}x}\ {\rm{d}}\!x\\
&= \int h\ {\rm{d}}\!k+\int k\ {\rm{d}}\!h\\
\end{align}

移项整理,得不定积分形式的分部积分方程

\int\frac{{\rm{d}}h}{{\rm{d}}x}\!k\ {\rm{d}}\!x=h\!k-\int h\!\frac{{\rm{d}}k}{{\rm{d}}x}\ {\rm{d}}\!x

由以上等式我们可以推导出分部积分法在区间[a,A]\ 定积分形式

\int^A_a\frac{{\rm{d}}h}{{\rm{d}}x}\!k\ {\rm{d}}\!x=\big[h\!k\big]^A_a-\int^A_ah\!\frac{{\rm{d}}k}{{\rm{d}}x}\ {\rm{d}}\!x

已经积出的部分\big[h\!k\big]^A_a可以代入上下限[a,A]\ 表示为以下等式,

\big[h\!k\big]^A_a=h(A)k(A)-h(a)k(a)

而以上这条等式可以通过函数求导乘积法则,以及微积分基本定理通过以下方式倒推并得以验证


\begin{align}
h(A)k(A)-h(a)k(a) &= \int^A_a\frac{{\rm{d}}h\!k}{{\rm{d}}x}\ dx\\
& = \int^A_a\frac{{\rm{d}}h}{{\rm{d}}x}\!k\!+\!h\!\frac{{\rm{d}}k}{{\rm{d}}x}\ dx\\
& = \int^A_ak\ {\rm{d}}\!h+\int^A_ah\ {\rm{d}}\!k\\
\end{align}



在传统的微积分教材裡分部积分法通常写成不定积分形式:

\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\,dx,

如果更简单些,令u = f(x)v = g(x),微分{\rm{d}}u = f'(x){\rm{d}}x{\rm{d}}v = g'(x){\rm{d}}x,,就可以得到更常见到的形式:

\int u\,dv=uv-\int v\,du

注意,上面的原式中含有g的导数;在使用这个规则时必须先找到不定积分g,并且积分\int g f' {\rm{d}}x必须是可积的。

在级数的离散分析中也可以用到类似的公式表达,称为分部求和

另一可用的表达方式可以将原表达方式里的因子仅写成fg,但缺点是引进了镶套积分:

\int f g\,dx = f \int g\,dx - \int \left ( f' \int g\,dx \right )\,dx

这个表达方式只有当f是连续可导而且g是连续是才有效。

黎曼-斯蒂尔吉斯积分勒贝格-斯蒂尔吉斯积分有更多分部积分的公式。

提示:部分积分下面这样更复杂一点的积分运算里也是有效的:

\int u v\,dw = u v w - \int u w\,dv - \int v w\,du

例题[编辑]

用分部积分法求积分:

\int x\cos (x) \,dx

先设:

u = x,故du = dx,
dv = cos(x) dx,故v = sin(x).

代入原积分:


\begin{align}
  \int x\cos (x) \,dx & = \int u \,dv \\
  & = uv - \int v \,du \\
  & = x\sin (x) - \int \sin (x) \,dx \\
  & = x\sin (x) + \cos (x) + C
\end{align}

这里C是任意积分常数

连续使用分部积分可以求解这类积分:

\int x^{3} \sin (x) \,dx \quad \mbox{and} \quad \int x^{2} e^{x} \,dx

每次分部积分后x的幂减低1次。

下面这个例子需要用点技巧:

\int e^{x} \cos (x) \,dx

和其他例题不同的是分部积分之后得出的结果里含有要求解的积分式,在这时不必再按积分做下去。

此题要使用两次分部积分。先令:

u = cos(x);故du = −sin(x) dx
dv = ex dx;故v = ex

于是有:

\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin (x) \,dx

对余下的积分式再用分部积分,设:

u = sin(x); du = cos(x) dx
v = ex; dv = ex dx

得到:

\int e^{x} \sin (x) \,dx = e^{x} \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx

把两次分部积分的结果合在一起:

\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + e^x \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx

注意,要求解的积分式同时出现在等式两边。我们只要把它移到等式一边就可以得到积分结果:

2 \int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) ) + C
\int e^{x} \cos (x) \,dx = {e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) ) \over 2} + C

同样, C在这里是积分常数。

同样的技巧用在求解正割函数的立方的积分里。

另外两个很有用的分部积分范例是分布积分法用在函数本身和1的乘积。这里的前提是函数的导数是已知的,而且这个导数和x的乘积的积分已知。

第一个范例是∫ ln(x) dx.我们把它写成:

\int \ln (x) \cdot 1 \,dx

设:

u = ln(x); du = 1/x dx
v = x; dv = 1·dx

于是:

\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \,dx
= x \ln (x) - \int 1 \,dx
\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - {x} + {C}
\int \ln (x) \,dx = x ( \ln (x) - 1 ) + C

同样, C是积分常数。

第二个范例是∫ arctan(x) dx,这里arctan(x)是反三角函数。成重写入下:

\int \arctan (x) \cdot 1 \,dx

令:

u = arctan(x); du = 1/(1+x2) dx
v = x; dv = 1·dx

代入后有:

\int \arctan (x) \,dx = x \arctan (x) - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx
= x \arctan (x) - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C

其中用到换元积分法和自然对数积分。

ILATE约法[编辑]

用分部积分法时选择哪个函数为u哪个为dv很要紧,ILATE约法给出一个简单的选择u的方法:

I: 反三角函数:arctan x, arcsec x, etc.
L: 对数函数:ln x, \log_2(x), etc.
A: 代数函数x^2, 3x^{50}, etc.
T: 三角函数:sin x, tan x, etc.
E: 指数函数e^x, 13^x, etc.

u确定后,另一个函数自然是dv. ILATE这个口诀代表优先选择的顺序。.其中的道理是求列在后面的函数的积分比列在前面的更容易。

以下面这个积分作示范:

\int x\cos x \,dx.\,

根据ILATE约法, u = xdv = cos x dx ,于是du = dxv = sin x ,这个积分就变成

 x\sin x - \int 1\sin x \,dx,\,

等同于

 x\sin x  + \cos x+C. \,

总的来说在选udv时都是选得duu 简单,dv容易被积。换过来,如果选cos xuxdv,就要求这样的积分

 \frac{x^2}2\cos x + \int \frac{x^2}2\sin x\,dx\,\,

分部积分的结果还需要应用分部积分,陷入一个无限循环。

ILATE约法尽管很有用,也还是会有例外。所以有时可以用"LIATE"顺序替换。另外,在个别情况要将指数项拆开。例如,求积分

\int x^3e^{x^2}\,dx,

要拆成

u=x^2,\quad dv=xe^{x^2}\,dx

积分结果为

\int x^3e^{x^2}\,dx=\frac12e^{x^2}(x^2-1)+C

参见[编辑]