反三角函数

三角学
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在数学中，反三角函数是三角函数的反函数。下表列出基本的反三角函数。

名称	常用符号	定义	定义域	值域
反正弦	$y=\arcsin x$	$x=\sin y$	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
反余弦	$y=\arccos x$	$x=\cos y$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$
反正切	$y=\arctan x$	$x=\tan y$	$\mathbb{R}$	$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
反余切	$y=\arccot x$	$x=\cot y$	$\mathbb{R}$	$(0,\pi)$
反正割	$y=\arcsec x$	$x=\sec y$	$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$	$[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]$
反余割	$y=\arccsc x$	$x=\csc y$	$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$	$[-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2}]$

如果 $x$ 允许是复数，则 $y$ 的值域只适用它的实部。

符号 $\sin^{-1}, \cos^{-1}$ 等常用于 $\arcsin, \arccos$ 等。但是这种符号有时在 $\arcsin x$ 和 $\frac{1}{\sin x}$ 之间造成混淆。

在笛卡尔平面上 f(x) = arcsin(x) 和 f(x) = arccos(x) 函数的常用主值的图像。

在笛卡尔平面上 f(x) = arctan(x) 和 f(x) = arccot(x) 函数的常用主值的图像。

在计算机编程语言中，函数 arcsin, arccos, arctan 通常叫做 asin, acos, atan。很多编程语言提供两自变量 atan2 函数，它计算给定 y 和 x 的 y/x 的反正切，但是值域为 $[-\pi, \pi]$ 。

反三角函数之间的关系

补角:

$\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$

$\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$

$\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x$

负数参数:

$\arcsin (-x) = - \arcsin x \!$

$\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!$

$\arctan (-x) = - \arctan x \!$

$\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!$

$\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!$

$\arccsc (-x) = - \arccsc x \!$

倒数参数:

$\arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x$

$\arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x$

$\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \$ 如果 $\ x > 0$

$\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \$ 如果 $\ x < 0$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \$ 如果 $\ x > 0$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\$ 如果 $\ x < 0$

$\arcsec \frac{1}{x} = \arccos x$

$\arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x$

如果有一段正弦表:

$\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},$ 如果 $\ 0 \leq x \leq 1$

$\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

注意只要在使用了复数的平方根的时候，我们选择正实部的平方根(或者正虚部，如果是负实数的平方根的话)。

从半角公式 $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$，可得到:

$\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$

$\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},$ 如果 $-1 < x \leq +1$

$\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$

加法公式.減法公式

arcsin x + arcsin y

$\arcsin x + \arcsin y = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), \text{ when } xy \leq 0 , \text{ or } x^2 + y^2\leq 1$

$\arcsin x + \arcsin y = \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), \text{ when } x > 0 \text{ and } y > 0 \text{ and } x^2 + y^2 > 1$

$\arcsin x + \arcsin y = - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), \text{ when } x 1$

arcsin x - arcsin y

$\arcsin x - \arcsin y = \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right), \text{ when } xy \geq 0, \text{ or } x^2 + y^2\leq 1$

$\arcsin x - \arcsin y = \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2}\right), \text{ when } x > 0 \text{ and } y 1$

$\arcsin x - \arcsin y = - \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right), \text{ when } x 0 \text{ and } x^2 + y^2 > 1$

arccos x + arccos y

$\arccos x + \arccos y = \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x + y \geq 0$

$\arccos x + \arccos y = 2\pi - \arccos\left(xy - \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x + y < 0$

arccos x - arccos y

$\arccos x - \arccos y = -\arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x \geq y$

$\arccos x - \arccos y = \arccos\left(xy + \sqrt{1-x^2}\cdot\sqrt{1-y^2}\right), x < y$

arctan x + arctan y

$\arctan\,x + \arctan\,y =\arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, xy < 1$

$\arctan\,x + \arctan\,y =\pi + \arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, x > 0, xy > 1$

$\arctan\,x + \arctan\,y =-\pi + \arctan\,{\frac{x+y}{1-xy}}, x 1$

arctan x - arctan y

$\arctan x - \arctan y =\arctan{\frac{x-y}{1+xy}}, xy > -1$

$\arctan x - \arctan y =\pi + \arctan{\frac{x-y}{1+xy}}, x > 0, xy < -1$

$\arctan x - \arctan y =-\pi + \arctan {\frac{x-y}{1+xy}}, x < 0, xy < -1$

arccot x + arccot y

$\arccot x + \arccot y =\arccot{\frac{xy-1}{x+y}}, x > -y$

$\arccot x + \arccot y =\arccot {\frac{xy-1}{x+y}}+\pi, x < -y$

arcsin x + arccos x

$\arcsin x + \arccos x =\frac{\pi}{2}, |x|\leq1$

arctan x + arccot x

$\arctan x + \arccot x =\frac{\pi}{2}$

一般解

每个三角函数都周期于它的参数的实部上，在每个 2π 区间内通过它的所有值两次。正弦和余割的周期开始于 2πk - π/2 结束于 2πk + π/2(这里的 k 是一个整数)，在 2πk + π/2 到 2πk + 3π/2 上倒过来。余弦和正割的周期开始于 2πk 结束于 2πk + π，在 2πk + π 到 2πk + 2π 上倒过来。正切的周期开始于 2πk - π/2 结束于 2πk + π/2，接着(向前)在 2πk + π/2 到 2πk + 3π/2 上重复。余切的周期开始于 2πk 结束于 2πk + π，接着(向前)在 2πk + π 到 2πk + 2π 上重复。

这个周期性反应在一般反函数上:

$\sin y= x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsin x+2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \implies y= \pi-\arcsin x+2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}$

$\cos y= x \ \Leftrightarrow\ y = \arccos x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \implies y = 2\pi - \arccos x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}$

$\tan y= x \ \Leftrightarrow\ y = \arctan x+ k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}$

$\cot y= x \ \Leftrightarrow\ y = \arccot x+ k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}$

$\sec y= x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsec x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \implies y = 2\pi - \arcsec (x) + 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}$

$\csc y= x \ \Leftrightarrow\ y = \arccsc x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z} \implies y = \pi - \arccsc x+ 2k\pi \text{ } \forall \text{ } k \in \mathbb{Z}$

反三角函数的导数

对于 $x$ 的实数值的简单导数如下:

$\begin{align} \frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}; \qquad |x| 1\\ \frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1 \end{align}$

设 $\theta = \arcsin x \!$，得到:

$\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上$|x|<1$

设 $\theta =\arccos x$，得到:

$\frac{d\arccos x}{dx}=\frac{d\theta }{d\cos \theta }=\frac{-1}{\sin \theta }=\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^{2}\theta }}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上$|x|<1$

设 $\theta =\arctan x$，得到:

$\frac{d\arctan x}{dx}=\frac{d\theta }{d\tan \theta }=\frac{1}{\sec ^{2}\theta }=\frac{1}{1+\tan ^{2}\theta }=\frac{1}{1+x^{2}}$

设 $\theta =\arccot x$，得到:

$\frac{d\operatorname{arc}\cot x}{dx}=\frac{d\theta }{d\cot \theta }=\frac{-1}{\csc ^{2}\theta }=\frac{1}{1+\cot ^{2}\theta }=\frac{-1}{1+x^{2}}$

设 $\theta =\arcsec x$，得到:

$\frac{d\operatorname{arc}\sec x}{dx}=\frac{d\theta }{d\sec \theta }=\frac{1}{\sec \theta \tan \theta }=\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{x^{2}-1}}$

因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上$|x|>1$，比較容易被忽略是$\sec \theta$產生的絕對值 $\sec ^{-1}\theta$的定義域是$0\le \theta \le \pi$，其所產生的反函數皆為正，所以需要加上絕對值

设 $\theta =\arccsc x$，得到:

$\frac{d\operatorname{arc}\csc x}{dx}=\frac{d\theta }{d\csc \theta }=\frac{-1}{\csc \theta \cot \theta }=\frac{-1}{\left| x \right|\sqrt{x^{2}-1}}$

因為要使根號內部恆為正，所以在條件加上$|x|>1$，比較容易被忽略是$\csc \theta$產生的絕對值 $\csc ^{-1}\theta$的定義域是$-\frac{\pi}{2}\le \theta \le \frac{\pi}{2},\theta\ne0$，其所產生的反函數皆為負，所以需要加上絕對值

表达为定积分

积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式:

$\begin{align} \arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\ \arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\ \arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\ \arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\ \arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\ \arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1 \end{align}$

当 x 等于 1 时，在有极限的域上的积分是瑕积分，但仍是良好定义的。

无穷级数

如同正弦和余弦函数，反三角函数可以使用无穷级数计算如下:

$\begin{align} \arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1 \end{align}$

$\begin{align} \arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1 \end{align}$

$\begin{align} \arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align}$

$\begin{align} \arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align}$

$\begin{align} \arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} ; \qquad \left| z \right| \ge 1 \end{align}$

$\begin{align} \arccsc z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) \\ & {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1} ; \qquad \left| z \right| \ge 1 \end{align}$

欧拉发现了反正切的更有效的级数:

$\arctan x = \frac{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}.$

(注意对 n= 0 在和中的项是空积 1。)

反三角函数的不定积分

$\begin{align} \int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\ \int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\ \int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\ \int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\ \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C\\ \int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C \end{align}$

使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。

参见

• 三角函数
• 正切半角公式
• 三角恒等式
• 平方根

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, Inverse Trigonometric Functions at MathWorld
• http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html