Atan2

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三角函数中,两个参数的函数atan2正切函数的一个变种。对于任意不同时等于0的实参数x和y,atan2(y,x)所表达的意思是坐标原点为起点,指向(x,y)的射线在坐标平面上与x轴正方向之间的角的角度。当y>0时,射线与x轴正方向的所得的角的角度指的是x轴正方向绕逆时针方向到达射线旋转的角的角度;而当y<0时,射线与x轴正方向所得的角的角度指的是x轴正方向绕顺时针方向达到射线旋转的角的角度。

atan2函数最初在计算机编程语言中被引入,但是现在它的应用在科学和工程等其他多个领域十分常见。他的出现最早可以追溯到FORTRAN语言[1],并且可以在C语言的数学标准库的math.h文件中找到,此外在Java数学库、.NET的System.Math(可应用于C#VB.NET等语言)、Python的数学模块以及其他地方都可以找到atan2的身影。许多脚本语言,比如Perl,也包含了C语言风格的atan2函数[2]

工作原理[编辑]

函数定义[编辑]

基于值域为 \left ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right )正切函数,该函数定义如下:

\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
\arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\
\arctan\left(\frac y x\right) + \pi& \qquad y \ge 0 , x < 0 \\
\arctan\left(\frac y x\right) - \pi& \qquad y < 0 , x < 0 \\
+\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\
-\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\
\text{undefined} & \qquad y = 0, x = 0
\end{cases}

说明:

  • 该函数的值域为\left ( -\pi,\pi \right ],可以通过对负数结果加2\pi的方法,将函数的结果映射到\left [ 0,2\pi\right )范围内。

其他软件中的变形[编辑]

有关图片[编辑]

单位圆内的atan2取值

旁边的图片显示内容是:在一个单位圆内atan2函数在各点的取值。圆内标注代表各点的取值的幅度表示。

图片中,从最左端开始,角度的大小随着逆时针方向逐渐从-π增大到+π,并且角度大小在点位于最右端时,取值为0。

另外要注意的是,函数atan2(y,x)中参数的顺序是倒置的,atan2(y,x)计算的值相当于点(x,y)的角度值。


下方的图片显示的是单位圆上各点在atan2函数上的值,从原点射向(0,1)点的射线,开始绕逆时针方向可以与x轴正方向得到对应各点的复平面的复角,其中几个特殊点取值:

  • (0, 1)对于的复平面夹角为π/2,
  • (−1, 0)对于复平面的夹角为π,
  • (0, −1)对于复平面的夹角为3π/2,

在回到(1, 0)复平面夹角为 0 = (2nπ mod 2π)。

这些你可以直观的从图中看出。[3]

Atan2-discontinuity.svg



下面的插图分别显示的是atan2(y,x)和atan(y,x)在坐标平面的三维景象。

注意在atan2(y,x)函数中,从原点辐射出的射线上有常数值,而在atan(y/x)的函数中,经过原点的直线有常数值。

Atan2Diagram.png AtanDiagram.png

参考文献[编辑]

  1. ^ Organick, Elliott I. A FORTRAN IV Primer. Addison-Wesley. 1966: 42. "Some processors also offer the library function called ATAN2, a function of two arguments (opposite and adjacent)." 
  2. ^ The Linux Programmer's Manual [1] says:
    "The atan2() function calculates the arc tangent of the two variables y and x. It is similar to calculating the arc tangent of y / x, except that the signs of both arguments are used to determine the quadrant of the result."
  3. ^ Computation of the external argument by Wolf Jung

参见[编辑]

外部链接[编辑]