勾股定理

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勾股定理或勾股弦定理，又称畢達哥拉斯定理或畢氏定理。是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希腊的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的一個特例，相传是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算經》内的勾股定理作出了详细注释，作為一個證明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。^[1]

目录 1 定理 2 勾股數组 3 歷史 4 證明 4.1 利用相似三角形的證法 4.2 歐幾里得的証法 4.3 圖形重新排列證法 5 勾股定理的逆定理 6 參見 7 注釋 8 外部連結

[编辑] 定理

勾股定理指出：

直角三角形兩直角邊（即“勾”、“股”）邊長平方和等於斜邊（即“弦”）邊長的平方。

也就是說，

設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼

a² + b² = c²

只要知道直角三角形的任意兩條邊，便可計算出第三條邊。

勾股定理同時是餘弦定理中的一個特例。

勾股定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。

[编辑] 勾股數组

主条目：勾股數

勾股数组是滿足勾股定理a² + b² = c²的正整數組(a,b,c)，其中的a,b,c称为勾股数。例如(3,4,5)就是一組勾股數組。

任意一组勾股数(a,b,c)可以表示为如下形式：a = k(m² − n²),b = 2kmn,c = k(m² + n²)，其中。

[编辑] 歷史

這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。

中國古代的《周髀算經》中，記載了商朝的商高發現了(3,4,5)這組勾股數：

“	故折矩，以为句，广三，股修四，径隅五。	”
—周髀算经 卷上之一

直至現時為止，有許多辯論關於勾股定理是否早已不只一次被發現。有人說是在西元前2000年由英國發現，然後傳播到達米亞。然而，許多學者並不同意這說法。最近，Jagadguru Swami Sri Bharati Krishna Tirthaji Maharaja在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。

[编辑] 證明

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。

[编辑] 利用相似三角形的證法

有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。

設ABC為一直角三角形, 直角於角C（看附圖）. 從點C畫上三角形的高，並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：

因為

所以

可以寫成

綜合這兩個方程式，我們得到

換句話說:

[编辑] 歐幾里得的証法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下証明後可成立。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：

• 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）
• 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
• 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。
• 任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。

證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。

其證明如下：

1. 設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。
2. 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
3. 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。
4. 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。
5. ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。
6. ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。
7. 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。
8. 因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。
9. 因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。
10. 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB²。
11. 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC²。
12. 把這兩個結果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC
13. 由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC
14. 由於CBDE是個正方形，因此AB² + AC² = C²。

此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的^[2]

[编辑] 圖形重新排列證法

此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為(a + b)²。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為a² + b²，右方餘下面積為c²，兩者相等。證畢。

[编辑] 勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中c為最長邊:

• 如果，則△ABC是直角三角形。
• 如果，則△ABC是銳角三角形。
• 如果，則△ABC是鈍角三角形。

[编辑] 參見

• 直角三角形
• 勾股數
• 餘弦定理

[编辑] 注釋

[编辑] 外部連結

• 勾股定理(MathWorld)（英文）