十二平均律

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十二平均律,又稱十二等程律,是一種音樂定律方法,將一個八度平均分成十二等份,每等分稱為半音,是最主要的調音法

歷史[编辑]

西蒙·斯特芬 作于 1605年左右的手稿 Van de Spiegheling der singconst

公元400年左右南朝数学家何承天提出世界历史上最早有记载的十二平均律数列 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450(原文:……黄钟长九寸,太簇长八寸二厘,林钟长六寸一厘,应钟长四寸七分九厘强)[1] .

意大利的物理学家伽利略·伽利莱的父亲伽利略·文森佐曾试图解决十二平均率问题,但他用的倍率是 18:17 而不是\sqrt [12] {2},因此自乘12次后只得 1.98556,不是2,八度走了音,他的系统只可算近似十二音阶平均律[2]

1605年荷兰数学家西蒙·斯特芬在一篇未完成的手稿“Van de Spiegheling der singconst”[3]提出用\sqrt [12] {1/2} 计算十二平均律,但因计算精度不够,他算出的弦长数字,有些偏离正确数字一至二单位之多[4]

西蒙·斯特芬的弦长表[5]

弦 10000 比率 正确的弦长
半音 9438 1.0595465 9438.7
全音 8909 1.0593781
1.5 音 8404 1.0600904 8409
2 倍全音 7936 1.0594758 7937
2.5 音 7491 1.0594046 7491.5
3 音 7071 1.0593975 7071.1
3.5 音 6674 1.0594845 6674.2
4 音 6298 1.0597014 6299
4.5 音 5944 1.0595558 5946
5 音 5611 1.0593477 5612.3
5.5 音 5296 1.0594788 5297.2
八度 1.0592000


西蒙·斯特芬的频率比,每音一率,且各不相同,这是不正确的[6]



朱載堉发明十二平均律[编辑]

中國明代音樂家朱載堉於萬曆十二年(1584年)首次提出「新法密率」(見《律呂精義》、《樂律全書》),推算出以比率 \sqrt [12] {2} 將八度音等分為十二等分的算法,並製造出十二平均律律管及律準,是世界上最早的十二平均律樂器。他用九九八十一位算盘计算出来准确到25位数字新法密率为:

律名 比率
正黄钟 1.000000000000000000000000
倍應鍾 1.059463094359295264561825
倍無射 1.122462048309372981433533
倍南呂 1.189207115002721066717500
倍夷則 1.259921049894873164767211
倍林鍾 1.334839854170034364830832
倍蕤賓 1.414213562373095048801689
倍仲呂 1.498307076876681498799281
倍姑洗 1.587401051968199474751706
倍夾鍾 1.681792830507429086062251
倍太蔟 1.781797436280678609480452
倍大呂 1.887748625363386993283826
倍黃鐘 2.000000000000000000000000


將八度音等分為十二等分,其數學意義如下:

八度音指的是頻率加倍(即二倍頻率)。因此在八度音中分為十二等分乃是分為十二個等比級數,其結果就是每個音的頻率為前一個音的2的12次方根\sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}\approx 1.059463094359295264561825294946 倍。

朱載堉首创十二平均律乐器[编辑]

朱載堉为了验证所创的十二平均律理论,计算出所需的长度和律管内径,特选用上等竹子,按数据截取所需的长度,按数据镟出内径,分别创制世界上最早的十二平均律律管36根, 分别为新法密率倍率管12根、正律管12根和半律管12根[7]。选上好竹子制造,金门竹、班竹或紫竹都可,但最上乘的当推江南出产的笔管竹。竹管不涂油漆,取天然之质。如没有合适的内周径,则需加工,经过加工的竹管,不得已而涂漆;宜用黑漆如同古琴,忌涂红漆,太俗气[8]

倍率黄钟管的内径取为五寸,下一根竹管的内径为上根竹管的直径除以\sqrt [24] {2}:

樂器尺寸[编辑]

十二平均律倍律管
十二平均律正律管
十二平均律半律管
律数 律名 长度 内径
1 倍律 黃鐘 2.0000 尺 0.500 尺
2 倍律 大呂 1.8877 尺 0.485 尺
3 倍律 太蔟 1.7818 尺 0.471 尺
4 倍律 夾鍾 1.6818 尺 0.458 尺
5 倍律 姑洗 1.5874 尺 0.445 尺
6 倍律 仲呂 1.4983 尺 0.432 尺
7 倍律 蕤賓 1.4142 尺 0.420 尺
8 倍律 林鍾 1.3348 尺 0.408 尺
9 倍律 夷則 1.2599 尺 0.396 尺
10 倍律 南呂 1.1892 尺 0.385 尺
11 倍律 無射 1.1224 尺 0.374 尺
12 倍律 應鍾 1.0594 尺 0.363 尺
1 正律 黄钟 1.0000 尺 0.353 尺
2 正律 大呂 0.9439 尺 0.343 尺
3 正律 太蔟 0.8909 尺 0.333 尺
4 正律 夾鍾 0.8409 尺 0.324 尺
5 正律 姑洗 0.7937 尺 0.314 尺
6 正律 仲呂 0.7491 尺 0.306 尺
7 正律 蕤賓 0.7071 尺 0.297 尺
8 正律 林鍾 0.6674 尺 0.288 尺
9 正律 夷則 0.6299 尺 0.280 尺
10 正律 南呂 0.5946 尺 0.272 尺
11 正律 無射 0.5612 尺 0.264 尺
12 正律 應鍾 0.5297 尺 0.257 尺
1 半律 黃鐘 0.5000 尺 0.250 尺
2 半律 大呂 0.4719 尺 0.242 尺
3 半律 太蔟 0.4454 尺 0.235 尺
4 半律 夾鍾 0.4204 尺 0.229 尺
5 半律 姑洗 0.3968 尺 0.222 尺
6 半律 仲呂 0.3745 尺 0.216 尺
7 半律 蕤賓 0.3535 尺 0.210 尺
8 半律 林鍾 0.3337 尺 0.204 尺
9 半律 夷則 0.3150 尺 0.198 尺
10 半律 南呂 0.2973 尺 0.192 尺
11 半律 無射 0.2806 尺 0.187 尺
12 半律 應鍾 0.2648 尺 0.181 尺


倍率黄钟管的内径取为五寸,下一根竹管的内径为上根竹管的直径除以\sqrt [24] {2}

十二平均律准[编辑]

朱載堉依他對十二平均律所發明的新法密率理論,创制一種律准。用桐木制作,琴身厚四分,张琴弦12根,琴底藏一根黄钟律管,用来定黄钟[9]

朱載堉12弦十二平均律准
按第 1 弦为 黃鐘 与本弦 散声 应
按第 2 弦为 大呂 与本弦 散声 应
按第 3 弦为 太蔟 与本弦 散声 应
按第 4 弦为 夾鍾 与本弦 散声 应
按第 5 弦为 姑洗 与本弦 散声 应
按第 6 弦为 仲呂 与本弦 散声 应
按第 7 弦为 蕤賓 与本弦 散声 应
按第 8 弦为 林鍾 与本弦 散声 应
按第 9 弦为 夷則 与本弦 散声 应
按第 10 弦为 南呂 与本弦 散声 应
按第 11 弦为 無射 与本弦 散声 应
按第 12 弦为 應鍾 与本弦 散声 应
十二平均律准
十二平均律准 
十二平均律准 
十二平均律准 
十二平均律准 
十二平均律准 
十二平均律准 
十二平均律准 
十二平均律准 
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十二平均律准 

十二平均律的西传[编辑]

16世纪末叶中外交通方兴未艾,1580年开始,明朝广州布政司每两年在广州举办一次为时数周的交易会,届时东西商人和传教士交流货物和思想;朱載堉刊行十二平均律学说之时,正值耶稣会传教士利马窦来华之时,朱載堉的十二平均律学书,极有可能在此时通过传教士传向西方[10]。事实上利马窦在其私人日记里提到朱載堉的历法新理论,利马窦本人又是精通天文学和数学,很可能知道朱載堉用\sqrt [12]{2}来解决春分与夏至三个月之间的比率:无独有偶,利马窦还是法国位居高位的科学家马兰·梅森 (Pere Marin Mersenne)的朋友,他们有共同的学术兴趣,在他们交往过程中,利马窦必将朱載堉获得的\sqrt [12]{2}=1.059463094359295264561825 传达给梅森。1638年梅森出版《和谐音概论》,书中在西方世界第一次出现1.059463 这个数字,在此之前西方无人知道这个数字。因此现今世界乐坛通行的十二平均律,其发明权非朱載堉莫属[11]。十九世纪德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹在所著的论音感一书中写道:“中国有一位王子名叫載堉,力排众议,创导七声音阶。而将八度分成十二个半音的方法,也是这个富有天才和智巧的国家发明的[12]


1890年布鲁塞尔皇家音乐博物馆馆长 Victor Charles Mahillon 按朱載堉十二平均律律管数据,复制了一套律管,经过测试之后,他写道:“关于乐管的管径,我们毫无所知,中国人比我们知道的多得多。我们按王子載堉的数据复制了一套律管,测试结果表明他的理论的准确性”[13]

十二平均律流行世界

德国作曲家巴赫於1722年發表的《平均律键盘曲集》(Das Wohltemperierten Klavier,中文意思是「完美調音的鍵盤樂器」),有可能就是為十二平均律的鍵盤樂器所著。十二平均律的德文是Gleichschwebende Temperatur,而不是Wohltemprierte。平均律的英文是Equal Temperament,Temperament是Temper(調律)的動詞,因為百餘年來歐美各國的調律都採十二平均律,故現在習慣以Temperament表示十二平均律。

James Murray Barbour (1897, 3, 31 - 1970, 1, 04) 研究「調律技術演進史」,認為1842年由英國樂器製造廠Broadwood找到十二平均律的調律法,十二平均律才能普及。[14] 巴赫的鍵盤樂器则是使用他的学生,音乐理论家Johann Philipp Kirnberger綜合中庸全音律五度相生律的原理,所發明的調律法。

历史上各种十二平均律的音分[编辑]

年份 人名 比率 音分
400 何承天 1.060070671 101.0
1580 伽利略·文森佐 18:17 99.0
1581 朱載堉 1.059463094 100.0
1585 西蒙·斯特芬 1.059546514 100.1
1630 马兰·梅森 1.059322034 99.8
1630 Johann Faulhaber 1.059490385 100.0

朱載堉显然是历史上最先获得100音分的十二平均律;半世纪之后德国数学家Johann Faulhaber也获100音分。

十二平均律表[编辑]

將主音設為a1(440Hz),來計算所有音的頻率,結果如下:

音程名稱 十二平均律的倍數 頻率
完全一度(A1) 2^{1}=2 \, 440 \times 1=440 \,
增一度/小二度(A♯1/B♭1) \sqrt[12]{2048}=2^{\frac{11}{12}}\approx 1.8877486253633869932838263133351 440 \times 2^{\frac{1}{12}}\approx 466.1637615180899164072031297762
大二度(B1) \sqrt[6]{32}=2^{\frac{5}{6}}\approx 1.781797436280678609480452411181 440 \times 2^{\frac{1}{6}}\approx 493.8833012561241118307545418586
小三度(C) \sqrt[4]{8}=2^{\frac{3}{4}}\approx 1.6817928305074290860622509524664 440 \times 2^{\frac{1}{4}}\approx 523.2511306011972693556999870466
大三度(C♯) \sqrt[3]{4}=2^{\frac{2}{3}}\approx 1.5874010519681994747517056392723 440 \times 2^{\frac{1}{3}}\approx 554.3652619537441924975726672023
完全四度(D) \sqrt[12]{128}=2^{\frac{7}{12}}\approx 1.4983070768766814987992807320298 440 \times 2^{\frac{5}{12}}\approx 587.3295358348151205255660277209
增四度/減五度(D#/E♭) \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\approx 1.4142135623730950488016887242097 440 \times 2^{\frac{1}{2}}\approx 622.2539674441618214727430386522
完全五度(E) \sqrt[12]{32}=2^{\frac{5}{12}}\approx 1.3348398541700343648308318811845 440 \times 2^{\frac{7}{12}}\approx 659.2551138257398594716835220930
小六度(F) \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}\approx 1.2599210498948731647672106072782 440 \times 2^{\frac{2}{3}}\approx 698.4564628660077688907504812795
大六度(F#) \sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}}\approx 1.1892071150027210667174999705605 440 \times 2^{\frac{3}{4}}\approx 739.9888454232687978673904190852
小七度(G) \sqrt[6]{2}=2^{\frac{1}{6}}\approx 1.1224620483093729814335330496792 440 \times 2^{\frac{5}{6}}\approx 783.9908719634985881713990609195
大七度(G#) \sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}\approx 1.0594630943592952645618252949463 440 \times 2^{\frac{11}{12}}\approx 830.6093951598902770448835778670
完全八度(A) 2^0=1 \, 440 \times 2=880 \,

其中\sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}\approx 1.05946309435929526456182529494

 \approx  \frac {18}{17} =1.05882 99 音分
\approx  \frac {107}{101}=1.05941 99.9 音分
\approx  \frac {11011}{10393}=1.05946310 100 音分

参见[编辑]

參考文献[编辑]

  1. ^ J. Murray Barbour Tuning and Temperament p55-56, Michigan State University Press 1951
  2. ^ 卓仁祥 《从文化角度看十二平均律的发现》 美国 TEXAS 大学
  3. ^ Simon Stevin Van de Spiegheling der singconst 2009-6-30
  4. ^ Thomas S. Christensen, The Cambridge history of western music theory p205, Cambridge Univerity Press
  5. ^ 卓仁祥 著 《东西方文化视野中的朱載堉及其学术成就》 第十章 151页 ISBN 978-7-81096-325-1
  6. ^ 卓仁祥 著 《东西方文化视野中的朱載堉及其学术成就》 第十章 152页 ISBN 978-7-81096-325-1
  7. ^ 朱載堉《乐律全书》卷八 第五至第九页
  8. ^ 朱載堉 《乐律全书》 卷八 第六页
  9. ^ 朱載堉《乐律全书》卷八 《律学新说》
  10. ^ Robert Temple, The Genius of China, p209
  11. ^ 美国北德克萨斯大学音乐学院教授 卓仁祥 《从文化史角度看十二平均律的发现》
  12. ^ Herman Helmholz On the Sensations of Tone as a Physiological basis for the theory of music , p 258, 3rd edition, Longmans, Green and Co, London, 1895
  13. ^ 劳汉生 《珠算与实用数学》 389页
  14. ^ Barbour, James Murray, Tuning and temperament, a historical survey, East Lansing, Michigan State College Press, 1953
  • 李約瑟 《中國科學技術史》第四卷第一分册
  • Robert Temple:The Genius of CHINA (李約瑟《中國科學技術史》的濃縮本)
  • 戴念祖 《朱载堉———明代的科学和艺术巨星》
  • 程貞一著,王翼勳譯:《黃鐘大呂:中國古代和十六世紀聲學成就》(上海:上海科技教育出版社,2007)。
  • Cho, Gene Jinsiong. (2003). The Discovery of Musical Equal Temperament in China and Europe in the Sixteenth Century. Lewiston, NY: The Edwin Mellen Press.

外部連結[编辑]