卡塔兰数

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明安图《割圜密率捷法》卷三 “卡塔兰数”书影
卡塔兰数

卡塔兰数組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。以比利時的數學家欧仁·查理·卡塔兰18141894)命名。历史上,清代数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”,远远早于卡塔兰[1][2][3]。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”[4]

卡塔兰数的一般項公式為 C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}

前20項為(OEIS中的数列A000108):1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190

性质[编辑]

Cn的另一个表达形式为C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n+1} \quad\mbox{ for }n\ge 1 所以,Cn是一个自然数;这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。(见下文的第二个证明。)

递推关系

C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.

它也满足

C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}

它的含义是当n → ∞时,左式除以右式的商趋向于1。(这可以用n!的斯特灵公式来证明。)

所有的奇卡塔兰数Cn都满足n=2^k-1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

应用[编辑]

组合数学中有非常多的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用n=3和n=4举若干例:

  • Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串,且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
  • 将上例的X换成左括号,Y换成右括号,Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
  • Cn表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中,n等于3,圆形表示节点,月牙形表示什么都没有。
  • Cn表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树(full binary tree)的方案数。下图中,n等于3,圆形表示内部节点,月牙形表示外部节点。本质同上。
Catalan number binary tree example.png

证明:

令1表示进栈,0表示出栈,则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数,满足从左往右扫描到任意一位时,经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有{2n \choose n}个,下面考虑不满足要求的数目。

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数,扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1(容易证明一定存在这样的情况),则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0,则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然(相似的思路证明两者一一对应)。

从而C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}。证毕。

  • Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发,在格点右上角结束,每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数:X代表“向右”,Y代表“向上”。下图为n = 4的情况:
Catalan number 4x4 grid example.svg
  • Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况:
Catalan-Hexagons-example.svg
  • Cn表示对{1, ..., n}依序进出置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n),其中Sw)递归定义如下:令w = unv,其中nw的最大元素,uv为更短的数列;再令S(w) = S(u)S(v)n,其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
  • Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为n = 4的情况:
Catalan stairsteps 4.svg
  • Cn表示表为2×n的矩阵的标准杨氏矩阵的数量。 也就是说,它是数字 1, 2, ..., 2n 被放置在一个2×n的矩形中并保证每行每列的数字升序排列的方案数。同样的,该式可由勾长公式的一个特殊情形推导得出。
  • Cn表示n个无标号物品的半序的个数。

汉克尔矩阵[编辑]

无论n的取值为多少,n×n汉克尔矩阵:A_{i,j} = C_{i + j - 2}.\ 行列式为1。例如,n = 4 时我们有

\det\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 14 \\ 2 & 5 & 14 & 42 \\ 5 & 14 & 42 & 132\end{bmatrix} = 1

进一步,无论n的取值为多少,如果矩阵被移动成A_{i,j} = C_{i + j - 1}.\ ,它的行列式仍然为1。 例如,n = 4 时我们有

\det\begin{bmatrix}1 & 2 & 5 & 14 \\ 2 & 5 & 14 & 42 \\ 5 & 14 & 42 & 132 \\ 14 & 42 & 132 & 429 \end{bmatrix} = 1

同时,这两种情形合在一起唯一定义了卡塔兰数。

参考文献[编辑]

  1. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》第7卷 474-475页
  2. ^ 明安图第发明卡塔兰数之第一人
  3. ^ 中国人在18世纪发现卡塔兰数
  4. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第七卷 476页