杨氏矩阵

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在数学中,杨表(Young tableau),又称杨氏矩阵。是对组合表示理论和舒伯特演算很有用的工具。它提供了一种方便的方式来描述对称和一般线性群的群表示,并研究它们的性质。杨表是剑桥大学数学家 Alfred Young 在1900年推提出。然后,它被弗罗贝尼乌斯应用对称群的研究中。他们的理论是由许多数学家进一步发展,包括 Percy MacMahon、W. V. D. Hodge、G. de B. Robinson、吉安-卡洛·羅塔、Alain Lascoux、Marcel-Paul Schützenberger 和 Richard P. Stanley 等。

定义[编辑]

一个 (1, 4, 5)分拆表示的杨表

杨表是由有限的方格组成。对于一个正整数,给定一个整数分拆λ(10=1+4+5),则对应一个杨表πλ (注意这是一个递降的过程,也就是说下面一行的方格数要大于等于上一行的方格数)。可以说杨表与整数分拆λ一一对应。

在表示理论的应用[编辑]

一个杨表的表示

给定一个杨表πλ ,一个有n个方格。那么把1到n这n个数字填到这个杨表中,使得每行从左到右都是递增的,每列从下到上也是递增的。用 dimπλ 表示这样的方法个数,如图,这个这种填写数字中的一种。我们有下面的勾长公式。

勾长[编辑]

一个杨表的勾长

对于杨表中的一个方格v,其勾长 hook(v)等于同行右边的方格数加上同列上面的方格数,再加上1(也就是他自己)。

勾长公式[编辑]

用 dimλ表示这样的方法个数,勾长公式就是方法个数等于n!除以所有方格的勾长的乘积。

\dim\pi_\lambda = \frac{n!}{\prod_{x \in Y(\lambda)} \mathrm{hook}(x)}.

对于分拆10 = 5 + 4 + 1 的应的杨表. 因此有

\dim\pi_\lambda = \frac{10!}{7\cdot5\cdot 4 \cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot1} = 288.

种方法。